Teorema de la determinación de Borel
En la teoría de conjuntos descriptiva , el Borel determinación teorema afirma que cualquier juego de Gale-Stewart cuyo conjunto de recompensa es un conjunto de Borel está determinada , lo que significa que uno de los dos jugadores tendrá un ganador de la estrategia para el juego.
El teorema fue probado por Donald A. Martin en 1975 y se aplica en la teoría descriptiva de conjuntos para demostrar que los conjuntos de Borel en los espacios polacos tienen propiedades de regularidad, como la propiedad del conjunto perfecto y la propiedad de Baire .
El teorema también es conocido por sus propiedades metamatemáticas . En 1971, antes de que se probara el teorema, Harvey Friedman demostró que cualquier demostración del teorema en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel debe hacer un uso repetido del axioma de reemplazo . Los resultados posteriores mostraron que los teoremas de determinación más fuertes no se pueden probar en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, aunque son relativamente consistentes con ella, si ciertos grandes cardinales son consistentes.
Un juego de Gale-Stewart es un juego de dos jugadores con información perfecta. El juego se define utilizando un conjunto A , y se denota G A . Los dos jugadores alternan turnos, y cada jugador está al tanto de todos los movimientos antes de realizar el siguiente. En cada turno, cada jugador elige un solo elemento de A para jugar. El mismo elemento puede elegirse más de una vez sin restricción. El juego se puede visualizar a través del siguiente diagrama, en el que los movimientos se realizan de izquierda a derecha, con los movimientos del jugador I arriba y los movimientos del jugador II abajo.
El juego continúa sin fin, de modo que una sola jugada del juego determina una secuencia infinita de elementos de A . El conjunto de todas esas secuencias se denota A ω . Los jugadores son conscientes, desde el comienzo del juego, de un conjunto de pagos fijo (también conocido como conjunto ganador ) que determinará quién gana. El conjunto de pagos es un subconjunto de A ω . Si la secuencia infinita creada por una jugada del juego está en el conjunto de pagos, entonces el jugador I gana. De lo contrario, el jugador II gana; no hay ataduras.
