Un subconjunto de un espacio topológico tiene la propiedad de Baire ( propiedad de Baire , llamada así por René-Louis Baire ), o se le llama conjunto casi abierto , si se diferencia de un conjunto abierto por un conjunto exiguo ;
Definiciones
Un subconjunto de un espacio topológico se llama casi abierto y se dice que tiene la propiedad de Baire o la propiedad de Baire si hay un conjunto abierto tal que es un subconjunto escaso , dondedenota la diferencia simétrica . [1] Además,tiene la propiedad de Baire en el sentido restringido si para cada subconjunto de la intersección tiene la propiedad de Baire relativa a . [2]
Propiedades
La familia de conjuntos con la propiedad de Baire forma un σ-álgebra . Es decir, el complemento de un conjunto casi abierto es casi abierto, y cualquier unión o intersección contable de conjuntos casi abiertos vuelve a estar casi abierta. [1] Dado que todos los conjuntos abiertos están casi abiertos (el conjunto vacío es escaso), se deduce que todos los conjuntos Borel están casi abiertos.
Si un subconjunto de un espacio polaco tiene la propiedad de Baire, entonces se determina su juego Banach-Mazur correspondiente . Lo contrario no se sostiene; Sin embargo, si cada juego en una clase de puntos adecuada dada se determina, entonces cada conjunto en tiene la propiedad de Baire. Por lo tanto, se sigue de la determinación proyectiva , que a su vez se sigue de suficientes cardenales grandes , que todo conjunto proyectivo (en un espacio polaco) tiene la propiedad de Baire. [3]
Se sigue del axioma de elección que hay conjuntos de reales sin la propiedad de Baire. En particular, el conjunto Vitali no tiene la propiedad de Baire. [4] Ya son suficientes las versiones más débiles de elección: el teorema del ideal primo de Boole implica que hay un ultrafiltro no principal en el conjunto de números naturales ; cada uno de estos ultrafiltros induce, a través de representaciones binarias de reales, un conjunto de reales sin la propiedad de Baire. [5]
Ver también
- Mapa casi abierto : un mapa que cumple una condición similar a la de ser un mapa abierto.
- Teorema de la categoría de Baire : en espacios topológicos donde la intersección de innumerables conjuntos abiertos densos es densa
- Conjunto abierto : subconjunto básico de un espacio topológico
Referencias
- ^ a b Oxtoby, John C. (1980), "4. La propiedad de Baire", Medida y categoría , Textos de posgrado en matemáticas, 2 (2ª ed.), Springer-Verlag, págs. 19-21, ISBN 978-0-387-90508-2.
- ^ Kuratowski, Kazimierz (1966), Topología. Vol. 1 , prensa académica y editores científicos polacos.
- ^ Becker, Howard; Kechris, Alexander S. (1996), La teoría descriptiva de conjuntos de las acciones de grupo polacas , Serie de notas de conferencia de la London Mathematical Society, 232 , Cambridge University Press, Cambridge, p. 69, doi : 10.1017 / CBO9780511735264 , ISBN 0-521-57605-9, MR 1425877.
- ↑ Oxtoby (1980) , p. 22.
- ^ Blass, Andreas (2010), "Ultrafiltros y teoría de conjuntos", Ultrafiltros a través de las matemáticas , Contemporary Mathematics, 530 , Providence, RI: American Mathematical Society, págs. 49–71, doi : 10.1090 / conm / 530/10440 , MR 2757533. Ver en particular la p. 64 .
enlaces externos
- Artículo de la Enciclopedia Springer de Matemáticas sobre la propiedad de Baire