En la teoría de conjuntos , el esquema de axioma de reemplazo es un esquema de axiomas en la teoría de conjuntos (ZF) de Zermelo-Fraenkel que afirma que la imagen de cualquier conjunto bajo cualquier mapeo definible también es un conjunto. Es necesario para la construcción de ciertos conjuntos infinitos en ZF.
El esquema del axioma está motivado por la idea de que si una clase es un conjunto depende solo de la cardinalidad de la clase, no del rango de sus elementos. Por lo tanto, si una clase es "lo suficientemente pequeña" para ser un conjunto, y hay una sobreyección de esa clase a una segunda clase, el axioma establece que la segunda clase también es un conjunto. Sin embargo, debido a que ZFC solo habla de conjuntos, no de clases adecuadas, el esquema se establece solo para las sobreyecciones definibles, que se identifican con sus fórmulas definitorias .
Declaración
Suponer es una relación binaria definible (que puede ser una clase adecuada ) tal que para cada conjunto hay un conjunto único tal que sostiene. Hay una función definible correspondiente, dónde si y solo si . Considere la clase (posiblemente adecuada) definido de tal manera que para cada conjunto , si y solo si hay un con . se llama la imagen de debajo , y denotado o (usando la notación del constructor de conjuntos ).
El esquema de axioma de reemplazo establece que si es una función de clase definible, como arriba, y es cualquier conjunto, entonces la imagen también es un conjunto. Esto puede verse como un principio de pequeñez: el axioma establece que si es lo suficientemente pequeño para ser un conjunto, entonces también es lo suficientemente pequeño como para ser un conjunto. Está implícito en el axioma más fuerte de limitación de tamaño .
Debido a que es imposible cuantificar funciones sobredefinibles en lógica de primer orden, se incluye una instancia del esquema para cada fórmula. en el lenguaje de la teoría de conjuntos con variables libres entre ; pero no es gratis en . En el lenguaje formal de la teoría de conjuntos, el esquema de axioma es:
Por el significado de , ver cuantificación de unicidad .
Para mayor claridad, en el caso de que no haya variables , esto se simplifica a:
Así que cuando sea especifica un único -a- correspondencia, similar a una función en , entonces todo alcanzado de esta manera se puede recopilar en el conjunto , similar a .
Aplicaciones
El esquema de axioma de reemplazo no es necesario para las demostraciones de la mayoría de los teoremas de las matemáticas ordinarias. De hecho, la teoría de conjuntos de Zermelo (Z) ya puede interpretar la aritmética de segundo orden y gran parte de la teoría de tipos en tipos finitos, que a su vez son suficientes para formalizar la mayor parte de las matemáticas. Aunque el esquema de axioma de reemplazo es un axioma estándar en la teoría de conjuntos hoy en día, a menudo se omite de los sistemas de teoría de tipos y sistemas de base en la teoría de topos .
En cualquier caso, el esquema de axioma aumenta drásticamente la fuerza de ZF, tanto en términos de los teoremas que puede probar, por ejemplo, los conjuntos que se muestra que existen, y también en términos de su fuerza de consistencia de la teoría de la prueba , en comparación con Z. Algunos aspectos importantes siguen ejemplos:
- Usando la definición moderna debida a von Neumann , probar la existencia de cualquier límite ordinal mayor que ω requiere el axioma de reemplazo. El número ordinal ω · 2 = ω + ω es el primer ordinal de este tipo. El axioma del infinito afirma la existencia de un conjunto infinito ω = {0, 1, 2, ...}. Se puede esperar definir ω · 2 como la unión de la secuencia {ω, ω + 1, ω + 2, ...}. Sin embargo, estas clases arbitrarias de ordinales no necesitan ser conjuntos; por ejemplo, la clase de todos los ordinales no es un conjunto. El reemplazo ahora permite reemplazar cada número finito n en ω con el correspondiente ω + n , y así garantiza que esta clase es un conjunto. Como aclaración, tenga en cuenta que uno puede construir fácilmente un conjunto bien ordenado que sea isomorfo a ω · 2 sin recurrir al reemplazo - simplemente tome la unión disjunta de dos copias de ω, con la segunda copia mayor que la primera - pero esto no es un ordinal ya que no está totalmente ordenado por inclusión.
- Los ordinales más grandes dependen de la sustitución de forma menos directa. Por ejemplo, ω 1 , el primer ordinal incontable , se puede construir de la siguiente manera: el conjunto de órdenes de pozo contables existe como un subconjunto depor separación y powerset (una relación en A es un subconjunto de, por lo que un elemento del conjunto de poder . Por tanto, un conjunto de relaciones es un subconjunto de)). Reemplace cada conjunto bien ordenado con su ordinal. Este es el conjunto de ordinales contables ω 1 , que a su vez se puede demostrar que es incontable. La construcción usa reemplazo dos veces; una vez para asegurar una asignación ordinal para cada conjunto bien ordenado y nuevamente para reemplazar conjuntos bien ordenados por sus ordinales. Este es un caso especial del resultado del número de Hartogs , y el caso general puede probarse de manera similar.
- A la luz de lo anterior, la existencia de una asignación de un ordinal a cada conjunto bien ordenado también requiere reemplazo. De manera similar, la asignación cardinal de von Neumann que asigna un número cardinal a cada conjunto requiere reemplazo, así como también axioma de elección .
- Para conjuntos de tuplas definidos recursivamente como y para grandes , el conjunto tiene un rango demasiado alto para que su existencia pueda demostrarse a partir de la teoría de conjuntos con solo el axioma de conjunto de poder, elección y sin reemplazo.
- De manera similar, Harvey Friedman mostró que se requiere reemplazo para demostrar que los conjuntos de Borel están determinados . El resultado es demostrado Donald A. Martin 's Borel determinación teorema .
- ZF con reemplazo prueba la consistencia de Z, ya que el conjunto V ω · 2 es un modelo de Z cuya existencia puede demostrarse en ZF. El número cardinal es el primero que se puede demostrar que existe en ZF pero no en Z. Para aclarar, tenga en cuenta que el segundo teorema de incompletitud de Gödel muestra que cada una de estas teorías contiene una oración, "expresando" la propia consistencia de la teoría, que es indemostrable en esa teoría , si esa teoría es consistente, este resultado a menudo se expresa vagamente como la afirmación de que ninguna de estas teorías puede probar su propia consistencia, si es consistente.
Relación con otros esquemas de axiomas
Colección
El esquema del axioma de la colección está estrechamente relacionado y con frecuencia se confunde con el esquema del axioma del reemplazo. Sobre el resto de los axiomas ZF, es equivalente al esquema de axioma de reemplazo. El axioma de colección es más fuerte que el reemplazo en ausencia del axioma de conjunto de poder o su contraparte constructiva de ZF, pero más débil en el marco de IZF, que carece de la ley del medio excluido .
Mientras que el reemplazo puede leerse para decir que la imagen de una función es un conjunto, colección habla de imágenes de relaciones y luego simplemente dice que alguna superclase de la imagen de relaciones es un conjunto. En otras palabras, el conjunto resultante no tiene ningún requisito de mínima, es decir, esta variante también carece del requisito de unicidad en . Es decir, la relación definida por no es necesario que sea una función, algunos puede corresponder a muchos 'pecado . En este caso, el conjunto de imágenes cuya existencia se afirma debe contener al menos uno de esos para cada en el juego original, sin garantía de que contendrá solo uno.
Suponga que las variables libres de se encuentran entre ; pero tampoco ni es gratis en . Entonces el esquema de axioma es:
El esquema del axioma se enuncia a veces sin restricciones previas (aparte de no ocurre gratis en ) en el predicado, :
En este caso, puede haber elementos en que no están asociados a ningún otro conjunto por . Sin embargo, el esquema de axioma como se establece requiere que, si un elemento de está asociado con al menos un conjunto , luego el conjunto de imágenes contendrá al menos uno de estos . El esquema de axioma resultante también se denomina esquema de axioma de delimitación .
Separación
El esquema de axioma de separación , el otro esquema de axioma en ZFC, está implícito en el esquema de axioma de reemplazo y el axioma de conjunto vacío . Recuerde que el esquema axiomático de separación incluye
para cada fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos en el que no es gratis.
La prueba es como sigue. Empiece con una fórmula eso no menciona y un set . Si no hay elemento de satisface entonces el set deseado por la instancia relevante del esquema de axioma de separación es el conjunto vacío. De lo contrario, elija un fijo en tal que sostiene. Definir una función de clase tal que, para cualquier elemento , Si sostiene y Si Es falso. Entonces la imagen de debajo , es decir, el conjunto , existe (por el axioma de reemplazo) y es precisamente el conjunto requerido para el axioma de separación.
Este resultado muestra que es posible axiomatizar ZFC con un solo esquema de axioma infinito. Debido a que se requiere al menos uno de esos esquemas infinitos (ZFC no es finitamente axiomatizable), esto muestra que el esquema de axioma de reemplazo puede ser el único esquema de axioma infinito en ZFC si se desea. Debido a que el esquema de axioma de separación no es independiente, a veces se omite de las declaraciones contemporáneas de los axiomas de Zermelo-Fraenkel.
Sin embargo, la separación sigue siendo importante para su uso en fragmentos de ZFC, debido a consideraciones históricas y para la comparación con axiomatizaciones alternativas de la teoría de conjuntos. Una formulación de la teoría de conjuntos que no incluya el axioma de reemplazo probablemente incluirá alguna forma del axioma de separación, para asegurar que sus modelos contengan una colección suficientemente rica de conjuntos. En el estudio de modelos de teoría de conjuntos, a veces es útil considerar modelos de ZFC sin reemplazo, como los modelos en la jerarquía de von Neumann.
La prueba anterior usa la ley del medio excluido al asumir que sino está vacío, entonces debe contener un elemento (en lógica intuicionista, un conjunto está "vacío" si no contiene un elemento, y "no vacío" es la negación formal de este, que es más débil que "contiene un elemento"). El axioma de separación está incluido en la teoría de conjuntos intuicionista .
Historia
El esquema de axioma de reemplazo no fue parte de la axiomatización de la teoría de conjuntos ( Z ) de Ernst Zermelo en 1908 . Alguna aproximación informal a ella existía en las obras inéditas de Cantor , y apareció de nuevo informalmente en Mirimanoff (1917). [1]
Su publicación por Abraham Fraenkel en 1922 es lo que hace que la teoría de conjuntos moderna sea la teoría de conjuntos de Zermelo- Fraenkel ( ZFC ). El axioma fue descubierto y anunciado de forma independiente por Thoralf Skolem más tarde ese mismo año (y publicado en 1923). El propio Zermelo incorporó el axioma de Fraenkel en su sistema revisado que publicó en 1930, que también incluyó como nuevo axioma el axioma de fundación de von Neumann . [2] Aunque es la versión de primer orden de Skolem de la lista de axiomas que usamos hoy, [3] generalmente no recibe crédito ya que cada axioma individual fue desarrollado antes por Zermelo o Fraenkel. La frase "teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel" fue utilizada por primera vez en forma impresa por von Neumann en 1928. [4]
Zermelo y Fraenkel habían mantenido una gran correspondencia en 1921; el axioma del reemplazo fue un tema importante de este intercambio. [3] Fraenkel inició correspondencia con Zermelo en algún momento de marzo de 1921. Sin embargo, sus cartas anteriores a la fechada el 6 de mayo de 1921 se han perdido. Zermelo admitió por primera vez una laguna en su sistema en una respuesta a Fraenkel fechada el 9 de mayo de 1921. El 10 de julio de 1921, Fraenkel completó y presentó para su publicación un artículo (publicado en 1922) que describía su axioma como permitiendo reemplazos arbitrarios: "Si M es un conjunto y cada elemento de M es reemplazado por [un conjunto o un elemento] luego M se convierte en un conjunto nuevamente "(terminación y traducción entre paréntesis por Ebbinghaus). La publicación de Fraenkel de 1922 agradeció a Zermelo sus útiles argumentos. Antes de esta publicación, Fraenkel anunció públicamente su nuevo axioma en una reunión de la Sociedad Matemática Alemana celebrada en Jena el 22 de septiembre de 1921. Zermelo estuvo presente en esta reunión; en la discusión que siguió a la charla de Fraenkel, aceptó el axioma del reemplazo en términos generales, pero expresó reservas con respecto a su alcance. [3]
Thoralf Skolem hizo público su descubrimiento de la brecha en el sistema de Zermelo (la misma brecha que Fraenkel había encontrado) en una charla que dio el 6 de julio de 1922 en el V Congreso de Matemáticos Escandinavos , que se celebró en Helsinki ; las actas de este congreso se publicaron en 1923. Skolem presentó una resolución en términos de reemplazos definibles de primer orden: "Sea U una proposición definida que se cumple para ciertos pares ( a , b ) en el dominio B ; suponga además que para todo a existe a lo sumo uno b tal que U es verdadero. Entonces, como a abarca los elementos de un conjunto M a , b abarca todos los elementos de un conjunto M b ". En el mismo año, Fraenkel escribió una reseña del artículo de Skolem, en la que Fraenkel simplemente afirmó que las consideraciones de Skolem corresponden a las suyas. [3]
El propio Zermelo nunca aceptó la formulación de Skolem del esquema del axioma del reemplazo. [3] En un momento dado, llamó al enfoque de Skolem “teoría de conjuntos de los empobrecidos”. Zermelo imaginó un sistema que permitiría grandes cardenales . [5] También se opuso fuertemente a las implicaciones filosóficas de los modelos contables de teoría de conjuntos , que se derivaron de la axiomatización de primer orden de Skolem. [4] Según la biografía de Zermelo de Heinz-Dieter Ebbinghaus , la desaprobación de Zermelo del enfoque de Skolem marcó el final de la influencia de Zermelo en los desarrollos de la teoría y la lógica de conjuntos. [3]
Referencias
- ^ Maddy, Penelope (1988), "Creer en los axiomas. I", Journal of Symbolic Logic , 53 (2): 481–511, doi : 10.2307 / 2274520 , JSTOR 2274520 , MR 0947855 , Los
primeros indicios del axioma de reemplazo pueden puede encontrarse en la carta de Cantor a Dedekind [1899] y en Mirimanoff [1917]
. Maddy cita dos artículos de Mirimanoff, "Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et le problème fundamental de la théorie des ensembles" y "Remarques sur la théorie des ensembles et les antinomies Cantorienne", ambos en L'Enseignement Mathématique (1917) . - ^ Ebbinghaus, p. 92.
- ↑ a b c d e f Ebbinghaus, págs. 135-138.
- ↑ a b Ebbinghaus, pág. 189.
- ^ Ebbinghaus, p. 184.
- Ebbinghaus, Heinz-Dieter (2007), Ernst Zermelo: Una aproximación a su vida y obra , Springer Science & Business Media, ISBN 978-3-540-49553-6.
- Halmos, Paul R. (1974) [1960], Teoría de conjuntos ingenua , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90092-6.
- Jech, Thomas (2003), Teoría de conjuntos: La edición del tercer milenio, revisada y ampliada , Springer, ISBN 3-540-44085-2.
- Kunen, Kenneth (1980), Teoría de conjuntos: una introducción a las pruebas de independencia , Elsevier, ISBN 0-444-86839-9.