En matemáticas , un álgebra de Bose-Mesner es un conjunto especial de matrices que surgen de una estructura combinatoria conocida como esquema de asociación , junto con el conjunto habitual de reglas para combinar (formar los productos de) esas matrices, de modo que formen una estructura asociativa. álgebra , o, más precisamente, un álgebra conmutativa unitaria . Entre estas reglas están:
- el resultado de un producto también está dentro del conjunto de matrices,
- hay una matriz de identidad en el conjunto, y
- tomar productos es conmutativo .
Las álgebras de Bose-Mesner tienen aplicaciones en física para modelos de espín y en estadística para el diseño de experimentos . Llevan el nombre de RC Bose y Dale Marsh Mesner. [1]
Definición
Sea X un conjunto de v elementos. Considere una partición de los subconjuntos de 2 elementos de X en n subconjuntos no vacíos, R 1 , ..., R n tal que:
- dado un , el número de tal que depende solo de i (y no de x ). Este número será denotado por v i , y
- dado con , el número de tal que y depende solo de i , j y k (y no de x e y ). Este número se indicará con.
Esta estructura se mejora agregando todos los pares de elementos repetidos de X y reuniéndolos en un subconjunto R 0 . Esta mejora permite que los parámetros i , j y k tomen el valor de cero, y permite que algunos de x , y o z sean iguales.
Un conjunto con una partición mejorada de este tipo se denomina esquema de asociación . [2] Se puede ver un esquema de asociación como una partición de los bordes de un gráfico completo (con el conjunto de vértices X ) en n clases, a menudo consideradas como clases de color. En esta representación, hay un bucle en cada vértice y todos los bucles reciben el mismo color 0.
El esquema de asociación también se puede representar algebraicamente. Considere las matrices D i definidas por:
Dejar ser el espacio vectorial que consta de todas las matrices , con complejo. [3] [4]
La definición de un esquema de asociación equivale a decir que elson v × v (0,1) - matrices que satisfacen
- es simétrico,
- (la matriz de todos unos),
El ( x , y ) de entrada-ésimo de la parte izquierda de 4. es el número de dos caminos de colores de longitud dos de unión x y y (el uso de "colores" i y j ) en el gráfico. Tenga en cuenta que las filas y columnas de Contiene 1s:
A partir de 1., estas matrices son simétricas . Desde 2.,son linealmente independientes , y la dimensión de es . Desde 4.,está cerrado bajo multiplicación, y la multiplicación es siempre asociativa. Este asociativo álgebra conmutativa se llama álgebra de Bose-Mesner del esquema de asociación . Dado que las matrices enson simétricos y se desplazan entre sí, se pueden diagonalizar simultáneamente. Esto significa que hay una matriz tal que a cada uno hay una matriz diagonal con . Esto significa que es semi-simple y tiene una base única de idempotentes primitivos . Estas son matrices complejas n × n que satisfacen
El álgebra de Bose-Mesner tiene dos bases distinguidas: la base que consta de las matrices de adyacencia , y la base que consiste en las matrices idempotentes irreductibles . Por definición, existen números complejos bien definidos tales que
y
Los números p , y los q-numeros , juegan un papel destacado en la teoría. [5] Satisfacen relaciones de ortogonalidad bien definidas. Los números p son los valores propios de la matriz de adyacencia .
Teorema
Los valores propios de y , satisfacen las condiciones de ortogonalidad:
También
En notación matricial , estos son
dónde
Prueba del teorema
Los valores propios de están con multiplicidades . Esto implica que
que prueba la ecuación y ecuación ,
que da ecuaciones , y .
Existe una analogía entre extensiones de esquemas de asociación y extensiones de campos finitos . Los casos que más nos interesan son aquellos en los que los esquemas extendidos se definen en el-ésimo poder cartesiano de un conjunto en el que un esquema de asociación básico se define. Un primer esquema de asociación definido en se llama el -th Kronecker poder de . A continuación, la extensión se define en el mismo conjunto. reuniendo clases de . La potencia de Kronecker corresponde al anillo polinomial primero definido en un campo , mientras que el esquema de extensión corresponde al campo de extensión obtenido como cociente. Un ejemplo de un esquema tan extendido es el esquema de Hamming .
Los esquemas de asociación pueden fusionarse, pero fusionarlos conduce a esquemas de asociación no simétricos , mientras que todos los códigos habituales son subgrupos en esquemas abelianos simétricos . [6] [7] [8]
Ver también
- Esquema de asociación
Notas
- ^ Bose y Mesner (1959)
- ^ Cameron y van Lint 1991 , págs. 197-198
- ^ Camion 1998
- ^ Delsarte y Levenshtein 1998
- ^ Camion 1998
- ^ Delsarte y Levenshtein 1998
- ^ Camion 1998
- ^ MacWilliams y Sloane 1978
Referencias
- Bailey, Rosemary A. (2004), Esquemas de asociación: experimentos diseñados, álgebra y combinatoria , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 84 , Cambridge University Press, p. 387, ISBN 978-0-521-82446-0, MR 2047311
- Bannai, Eiichi; Ito, Tatsuro (1984), Combinatoria algebraica I: Esquemas de asociación , Menlo Park, CA: The Benjamin / Cummings Publishing Co., Inc., págs. Xxiv + 425, ISBN 0-8053-0490-8, MR 0882540
- Bannai, Etsuko (2001), "Álgebras de Bose-Mesner asociadas con modelos de espín de cuatro pesos", Graphs and Combinatorics , 17 (4): 589–598, doi : 10.1007 / PL00007251 , S2CID 41255028
- Bose, R. C .; Mesner, D. M. (1959), "Sobre álgebras asociativas lineales correspondientes a esquemas de asociación de diseños parcialmente equilibrados" , Annals of Mathematical Statistics , 30 (1): 21-38, doi : 10.1214 / aoms / 1177706356 , JSTOR 2237117 , MR 0102157
- Cameron, P. J .; van Lint, J. H. (1991), Diseños, gráficos, códigos y sus enlaces , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-42385-6
- Camion, P. (1998), "Códigos y esquemas de asociación: propiedades básicas de los esquemas de asociación relevantes para la codificación", en Pless, V. S .; Huffman, W. C. (eds.), Manual de teoría de la codificación , Países Bajos: Elsevier
- Delsarte, P .; Levenshtein, V. I. (1998), "Esquemas de asociación y teoría de codificación", IEEE Transactions on Information Theory , 44 (6): 2477-2504, doi : 10.1109 / 18.720545
- MacWilliams, FJ; Sloane, N. J. A. (1978), La teoría de los códigos de corrección de errores , Nueva York: Elsevier
- Nomura, K. (1997), "Un álgebra asociada con un modelo de espín", Journal of Algebraic Combinatorics , 6 (1): 53–58, doi : 10.1023 / A: 1008644201287