En álgebra lineal , una matriz idempotente es una matriz que, cuando se multiplica por sí misma, se produce a sí misma. [1] [2] Es decir, la matriz es idempotente si y solo si . Para este productopor definir ,debe ser necesariamente una matriz cuadrada . Visto de esta manera, las matrices idempotentes son elementos idempotentes de anillos matriciales .
Ejemplo
Ejemplos de Las matrices idempotentes son:
Ejemplos de Las matrices idempotentes son:
Caso real 2 × 2
Si una matriz es idempotente, entonces
- Insinuando entonces o
- Insinuando entonces o
Por lo tanto, una condición necesaria para que una matriz de 2 × 2 sea idempotente es que sea diagonal o que su traza sea igual a 1. Observe que, para matrices diagonales idempotentes, y debe ser 1 o 0.
Si , la matriz será idempotente siempre entonces a satisface la ecuación cuadrática
- o
que es un círculo con centro (1/2, 0) y radio 1/2. En términos de un ángulo θ,
- es idempotente.
Sin emabargo, no es una condición necesaria: cualquier matriz
- con es idempotente.
Propiedades
Singularidad y regularidad
La única matriz idempotente no singular es la matriz identidad ; es decir, si una matriz sin identidad es idempotente, su número de filas (y columnas) independientes es menor que su número de filas (y columnas).
Esto se puede ver escribiendo , asumiendo que A tiene rango completo (no es singular), y pre-multiplicando por para obtener .
Cuando se resta una matriz idempotente de la matriz identidad, el resultado también es idempotente. Esto se mantiene desde
Si una matriz A es idempotente, entonces para todos los enteros positivos n,. Esto se puede demostrar usando prueba por inducción. Claramente tenemos el resultado para, como . Suponer que. Luego,, ya que A es idempotente. Por tanto, según el principio de inducción, se sigue el resultado.
Autovalores
Una matriz idempotente siempre es diagonalizable y sus valores propios son 0 o 1. [3]
Rastro
El rastro de una matriz idempotente, la suma de los elementos en su diagonal principal, es igual al rango de la matriz y, por lo tanto, siempre es un número entero. Esto proporciona una manera fácil de calcular el rango o, alternativamente, una manera fácil de determinar la traza de una matriz cuyos elementos no se conocen específicamente (lo cual es útil en estadísticas , por ejemplo, para establecer el grado de sesgo al usar una varianza muestral como una estimación de la varianza de una población ).
Relaciones entre matrices idempotentes
En el análisis de regresión, la matriz se sabe que produce los residuos de la regresión del vector de variables dependientes en la matriz de covariables . (Consulte la sección sobre Aplicaciones). Ahora, dejemos ser una matriz formada a partir de un subconjunto de las columnas de , y deja . Es fácil demostrar que tanto y son idempotentes, pero un hecho algo sorprendente es que . Esto es porque, o en otras palabras, los residuos de la regresión de las columnas de en son 0 desde se puede interpolar perfectamente ya que es un subconjunto de (por sustitución directa también es sencillo demostrar que ). Esto conduce a otros dos resultados importantes: uno es que es simétrica e idempotente, y la otra es que , es decir, es ortogonal a . Estos resultados juegan un papel clave, por ejemplo, en la derivación de la prueba F.
Aplicaciones
Las matrices idempotentes surgen con frecuencia en el análisis de regresión y la econometría . Por ejemplo, en mínimos cuadrados ordinarios , el problema de regresión es elegir un vector β de estimaciones de coeficientes para minimizar la suma de los residuos cuadrados (predicciones erróneas) e i : en forma de matriz,
- Minimizar
dónde es un vector de observaciones de variables dependientes , yes una matriz, cada una de cuyas columnas es una columna de observaciones sobre una de las variables independientes . El estimador resultante es
donde el superíndice T indica una transposición y el vector de residuos es [2]
Aqui ambos y (esta última se conoce como la matriz de sombrero ) son matrices idempotentes y simétricas, hecho que permite la simplificación cuando se calcula la suma de los residuos al cuadrado:
La idempotencia de También juega un papel en otros cálculos, como en la determinación de la varianza del estimador .
Un operador lineal idempotente es un operador de proyección en el espacio de rango a lo largo de su espacio nulo . es un operador de proyección ortogonal si y solo si es idempotente y simétrico .
Ver también
Referencias
- ^ Chiang, Alpha C. (1984). Métodos fundamentales de la economía matemática (3ª ed.). Nueva York: McGraw – Hill. pag. 80 . ISBN 0070108137.
- ^ a b Greene, William H. (2003). Análisis econométrico (5ª ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice – Hall. págs. 808–809. ISBN 0130661899.
- ^ Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (1990). Análisis de matrices . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. pag. 148 . ISBN 0521386322.