Límite (topología)
En topología y matemáticas en general, el límite de un subconjunto S de un espacio topológico X es el conjunto de puntos que se pueden abordar tanto desde S como desde el exterior de S. Más precisamente, es el conjunto de puntos en la clausura de no pertenecer al interior de Un elemento de la frontera de se llama punto frontera de El término operación frontera se refiere a encontrar o tomar la frontera de un conjunto. Las notaciones utilizadas para el límite de un conjunto incluyen y Algunos autores (por ejemplo, Willard, en General Topology ) utilizan el término frontera en lugar de límite en un intento de evitar confusiones con una definición diferente utilizada en la topología algebraica y la teoría de las variedades . A pesar de la aceptación generalizada del significado de los términos límite y frontera, a veces se han utilizado para referirse a otros conjuntos. Por ejemplo, Metric Spaces de ET Copson utiliza el término frontera para referirse a la frontera de Hausdorff , que se define como la intersección de un conjunto con su frontera. [1] Hausdorff también introdujo el término residuo, que se define como la intersección de un conjunto con el cierre de la frontera de su complemento. [2]
Una componente conexa de la frontera de se llama componente de frontera de
Hay varias definiciones equivalentes para el límite de un subconjunto de un espacio topológico que se denotarán por o simplemente si se entiende:
Un punto límite de un conjunto se refiere a cualquier elemento del límite de ese conjunto. El límite definido anteriormente a veces se denomina límite topológico del conjunto para distinguirlo de otras nociones con nombres similares, como el límite de una variedad con límite o el límite de una variedad con esquinas , por nombrar solo algunos ejemplos.
La clausura de un conjunto es igual a la unión del conjunto con su frontera:
