Teorema del valor extremo
En cálculo , el teorema del valor extremo establece que si una función de valor real es continua en el intervalo cerrado , entonces debe alcanzar un máximo y un mínimo , cada uno al menos una vez. Es decir, existen números y en los que:
![[a, b]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
El teorema del valor extremo es más específico que el teorema de la acotación relacionada , que establece simplemente que una función continua en el intervalo cerrado está acotada en ese intervalo; es decir, existen números reales y tales que:
Esto no dice que y sean necesariamente los valores máximo y mínimo de en el intervalo que es lo que estipula el teorema del valor extremo que también debe ser el caso.
![[a, b],](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d493b840f8326ba81ff9d95b4edf1effd5f2842)
El teorema del valor extremo se utiliza para demostrar el teorema de Rolle . En una formulación de Karl Weierstrass , este teorema establece que una función continua de un espacio compacto no vacío a un subconjunto de los números reales alcanza un máximo y un mínimo.
El teorema del valor extremo fue probado originalmente por Bernard Bolzano en la década de 1830 en una obra Teoría de funciones, pero el trabajo permaneció inédito hasta 1930. La demostración de Bolzano consistía en mostrar que una función continua en un intervalo cerrado estaba acotada, y luego mostrar que la función alcanzaba un valor máximo y mínimo. Ambas pruebas involucraron lo que se conoce hoy como el teorema de Bolzano-Weierstrass . [1] El resultado también fue descubierto más tarde por Weierstrass en 1860. [ cita requerida ]
Los siguientes ejemplos muestran por qué el dominio de la función debe estar cerrado y acotado para que se aplique el teorema. Ninguno de ellos logra alcanzar un máximo en el intervalo dado.
