En geometría , la fórmula de Bretschneider es la siguiente expresión para el área de un cuadrilátero general :
Aquí, a , b , c , d son los lados del cuadrilátero, s es el semiperímetro y α y γ son dos ángulos opuestos.
La fórmula de Bretschneider funciona en cualquier cuadrilátero, sea cíclico o no.
El matemático alemán Carl Anton Bretschneider descubrió la fórmula en 1842. La fórmula también fue derivada en el mismo año por el matemático alemán Karl Georg Christian von Staudt .
Denotar el área del cuadrilátero por K . Entonces nosotros tenemos
Por lo tanto
La ley de los cosenos implica que
porque ambos lados son iguales al cuadrado de la longitud de la diagonal BD . Esto se puede reescribir como
Agregando esto a la fórmula anterior para rendimientos de 4 K 2
Tenga en cuenta que: (una identidad trigonométrica verdadera para todos )
Siguiendo los mismos pasos que en la fórmula de Brahmagupta , esto se puede escribir como
Introduciendo el semiperímetro
lo anterior se convierte en
y la fórmula de Bretschneider sigue después de sacar la raíz cuadrada de ambos lados:
La fórmula de Bretschneider generaliza la fórmula de Brahmagupta para el área de un cuadrilátero cíclico , que a su vez generaliza la fórmula de Heron para el área de un triángulo .
El ajuste trigonométrica en la fórmula de Bretschneider para no ciclicidad del cuadrilátero puede ser reescrita no trigonométricamente en términos de los lados y las diagonales e y f para dar [1] [2]