En geometría , la fórmula de Heron (a veces llamada fórmula de Hero ), llamada así por Hero of Alexandria , [1] da el área de un triángulo cuando se conoce la longitud de los tres lados. A diferencia de otras fórmulas de áreas de triángulos, no es necesario calcular ángulos u otras distancias en el triángulo primero.
Formulación
La fórmula de Heron establece que el área de un triángulo cuyos lados tienen longitudes una , b , y c es
donde s es el semiperímetro del triángulo; es decir,
La fórmula de Heron también se puede escribir como
Ejemplo
Sea △ ABC el triángulo de lados a = 4 , b = 13 y c = 15 . El semiperímetro de este triángulo es
s =1/2( a + b + c ) = 1/2(4 + 13 + 15) = 16 , y el área es
En este ejemplo, las longitudes de los lados y el área son números enteros , lo que lo convierte en un triángulo heroniano . Sin embargo, la fórmula de Heron funciona igualmente bien en los casos en los que uno o todos estos números no es un número entero.
Historia
La fórmula se le atribuye a Garza (o héroe) de Alejandría , y se puede encontrar una prueba en su libro Métrica , escrito alrededor del 60 d.C. Se ha sugerido que Arquímedes conocía la fórmula más de dos siglos antes, [3] y dado que Métrica es una colección del conocimiento matemático disponible en el mundo antiguo, es posible que la fórmula sea anterior a la referencia dada en ese trabajo. [4]
Una fórmula equivalente a la de Heron, a saber,
fue descubierto por los chinos independientemente [ cita requerida ] de los griegos. Fue publicado en Mathematical Treatise in Nine Sections ( Qin Jiushao , 1247). [5]
Pruebas
La prueba original de Heron hizo uso de cuadriláteros cíclicos . [ cita requerida ] Otros argumentos apelan a la trigonometría como se muestra a continuación, o al incentro y un excirculo del triángulo, [6] o al teorema de De Gua (para el caso particular de triángulos agudos). [7]
Prueba trigonométrica usando la ley de los cosenos
A continuación se presenta una demostración moderna, que usa álgebra y es bastante diferente de la proporcionada por Heron (en su libro Métrica). [8] Sean a , b , c los lados del triángulo y α , β , γ los ángulos opuestos a esos lados. Aplicando la ley de los cosenos obtenemos
De esta demostración, obtenemos el enunciado algebraico de que
La altitud del triángulo en la base a tiene una longitud b sin γ , y sigue
La factorización de la diferencia de dos cuadrados se utilizó en dos pasos diferentes.
Prueba algebraica usando el teorema de Pitágoras
La siguiente prueba es muy similar a la dada por Raifaizen. [9] Según el teorema de Pitágoras , tenemos b 2 = h 2 + d 2 y a 2 = h 2 + ( c - d ) 2 de acuerdo con la figura de la derecha. Restar estos da como resultado a 2 - b 2 = c 2 - 2 cd . Esta ecuación nos permite expresar d en términos de los lados del triángulo:
Para la altura del triángulo tenemos que h 2 = b 2 - d 2 . Reemplazando d con la fórmula dada arriba y aplicando la identidad de diferencia de cuadrados obtenemos
Ahora aplicamos este resultado a la fórmula que calcula el área de un triángulo a partir de su altura:
Prueba trigonométrica usando la ley de los cotangentes
De la primera parte de la prueba de la ley de los cotangentes , [10] tenemos que el área del triángulo es a la vez
y A = rs , pero, dado que la suma de los medios ángulos es π / 2, se aplica la triple identidad cotangente , por lo que el primero de ellos es
Combinando los dos, obtenemos
de donde se sigue el resultado.
Estabilidad numérica
La fórmula de Heron como se indica arriba es numéricamente inestable para triángulos con un ángulo muy pequeño cuando se usa aritmética de punto flotante. Una alternativa estable [11] [12] implica disponer las longitudes de los lados de modo que a ≥ b ≥ cy calcular
Los corchetes en la fórmula anterior son necesarios para evitar la inestabilidad numérica en la evaluación.
Otras fórmulas de área que se asemejan a la fórmula de Heron
Otras tres fórmulas de área tienen la misma estructura que la fórmula de Heron pero se expresan en términos de diferentes variables. En primer lugar, que denota las medianas de los lados un , b , y c , respectivamente, como m un , m b , y m c y su semi-suma1/2( m a + m b + m c ) como σ , tenemos [13]
Siguiente, denotando las altitudes de los lados un , b , y c , respectivamente, como h una , h b y h c , y denota la semi-suma de los recíprocos de las altitudes como H = 1/2( h−1
a+ h−1
b+ h−1
c) tenemos [14]
Finalmente, denotando la semi-suma de los senos de los ángulos como S = 1/2(sin α + sin β + sin γ ) , tenemos [15]
donde D es el diámetro de la circunferencia: D = a/pecado α = B/pecado β = C/pecado γ.
Generalizaciones
La fórmula de Heron es un caso especial de la fórmula de Brahmagupta para el área de un cuadrilátero cíclico . La fórmula de Heron y la fórmula de Brahmagupta son casos especiales de la fórmula de Bretschneider para el área de un cuadrilátero . La fórmula de Heron se puede obtener de la fórmula de Brahmagupta o de la fórmula de Bretschneider estableciendo uno de los lados del cuadrilátero en cero.
La fórmula de Heron también es un caso especial de la fórmula para el área de un trapecio o trapecio basado solo en sus lados. La fórmula de Heron se obtiene poniendo a cero el lado paralelo más pequeño.
Expresando la fórmula de Heron con un determinante de Cayley-Menger en términos de los cuadrados de las distancias entre los tres vértices dados,
ilustra su similitud con la fórmula de Tartaglia para el volumen de un tres simplex .
David P. Robbins descubrió otra generalización de la fórmula de Heron a pentágonos y hexágonos inscritos en un círculo . [dieciséis]
Fórmula tipo garza para el volumen de un tetraedro
Si U , V , W , u , v , w son longitudes de los bordes del tetraedro (los tres primeros forman un triángulo; u opuesto a U y así sucesivamente), entonces [17]
dónde
Ver también
- Fórmula de cordones
Referencias
- ^ "Fórmula de Herón para calcular el área de cualquier triángulo" . España: Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. 2004 . Consultado el 30 de junio de 2012 .
- ^ Kendig, Keith (2000). "¿Una fórmula de 2000 años todavía guarda algunos secretos?" . Amer. Matemáticas. Mensual . 107 : 402–415. doi : 10.2307 / 2695295 .
- ^ Heath, Thomas L. (1921). Una historia de las matemáticas griegas . II . Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 321–323.
- ^ Weisstein, Eric W. "Fórmula de Heron" . MathWorld .
- ^ 秦, 九 韶 (1773). "卷三 上, 三 斜 求 积" .數學 九章 (四庫 全書 本) (en chino).
- ^ "Comunicación personal por correo electrónico entre los matemáticos John Conway y Peter Doyle" . 15 de diciembre de 1997 . Consultado el 25 de septiembre de 2020 .
- ^ Lévy-Leblond, Jean-Marc (14 de septiembre de 2020). "Una prueba simétrica en 3D de la fórmula de Heron" . El inteligente matemático . doi : 10.1007 / s00283-020-09996-8 . ISSN 0343-6993 .
- ^ Niven, Ivan (1981). Máximos y mínimos sin cálculo . La Asociación Matemática de América. págs. 7-8 .
- ^ Raifaizen, Claude H. (1971). "Una prueba más simple de la fórmula de Heron". Revista de Matemáticas . 44 (1): 27-28.
- ↑ La segunda parte de la prueba de la Ley de los cotangentes depende de la fórmula de Heron, pero este artículo depende solo de la primera parte.
- ^ Sterbenz, Pat H. (1 de mayo de 1974). Computación en coma flotante . Serie Prentice-Hall en Computación Automática (1ª ed.). Englewood Cliffs, Nueva Jersey, EE.UU .: Prentice Hall . ISBN 0-13-322495-3.
- ^ William M. Kahan (24 de marzo de 2000). "Mal cálculo del área y los ángulos de un triángulo con forma de aguja" (PDF) .
- ^ Benyi, Arpad, "Una fórmula tipo garza para el triángulo," Gaceta matemática "87, julio de 2003, 324–326.
- ^ Mitchell, Douglas W., "Una fórmula tipo Heron para el área recíproca de un triángulo", Mathematical Gazette 89, noviembre de 2005, 494.
- ^ Mitchell, Douglas W., "Una fórmula de área tipo Heron en términos de senos", Mathematical Gazette 93, marzo de 2009, 108-109.
- ^ DP Robbins, "Áreas de polígonos inscritos en un círculo", Discr. Computación. Geom. 12, 223-236, 1994.
- ^ W. Kahan, "¿Qué tiene que ver el volumen de un tetraedro con los lenguajes de programación informática?", [1] , págs. 16-17.
enlaces externos
- Una prueba del teorema de Pitágoras de la fórmula de Heron al cortar el nudo
- Calculadora de área y subprograma interactivo usando la fórmula de Heron
- Discusión de J. H. Conway sobre la fórmula de Heron
- "Fórmula de Heron y generalización de Brahmagupta" . MathPages.com .
- Una prueba geométrica de la fórmula de Heron
- Una prueba alternativa de la fórmula de Heron sin palabras.
- Factoring Heron