En geometría euclidiana , un cuadrilátero cíclico o cuadrilátero inscrito es un cuadrilátero cuyos vértices se encuentran todos en un solo círculo . Este círculo se llama circuncírculo o círculo circunscrito , y se dice que los vértices son concíclicos . El centro del círculo y su radio se denominan circuncentro y circunferencia, respectivamente. Otros nombres para estos cuadriláteros son cuadrilátero concíclico y cuadrilátero cordal , este último dado que los lados del cuadrilátero son cuerdas.de la circunferencia. Por lo general, se supone que el cuadrilátero es convexo , pero también hay cuadriláteros cíclicos cruzados. Las fórmulas y propiedades dadas a continuación son válidas en el caso convexo.
La palabra cíclico proviene del griego antiguo κύκλος ( kuklos ), que significa "círculo" o "rueda".
Todos los triángulos tienen un círculo circunferencial , pero no todos los cuadriláteros lo tienen. Un ejemplo de cuadrilátero que no puede ser cíclico es un rombo no cuadrado . Las caracterizaciones de la sección a continuación establecen qué condiciones necesarias y suficientes debe satisfacer un cuadrilátero para tener un círculo circunferencial.
Casos especiales
Cualquier cuadrado , rectángulo , trapezoide isósceles o antiparalelogramo es cíclico. Una cometa es cíclica si y solo si tiene dos ángulos rectos. Un cuadrilátero bicéntrico es un cuadrilátero cíclico que también es tangencial y un cuadrilátero exbicéntrico es un cuadrilátero cíclico que también es ex-tangencial . Un cuadrilátero armónico es un cuadrilátero cíclico en el que el producto de las longitudes de los lados opuestos son iguales.
Caracterizaciones
Circuncentro
Un cuadrilátero convexo es cíclico si y solo si las cuatro bisectrices perpendiculares a los lados son concurrentes . Este punto común es el circuncentro . [1]
Ángulos suplementarios
Un cuadrilátero convexo ABCD es cíclico si y solo si sus ángulos opuestos son suplementarios , es decir [1] [2]
El teorema directo fue la Proposición 22 del Libro 3 de los Elementos de Euclides . [3] De manera equivalente, un cuadrilátero convexo es cíclico si y solo si cada ángulo exterior es igual al ángulo interior opuesto .
En 1836, Duncan Gregory generalizó este resultado de la siguiente manera: Dado cualquier 2 n -gon cíclico convexo , entonces las dos sumas de ángulos alternos internos son cada una igual a ( n -1). [4]
Tomando la proyección estereográfica (tangente de medio ángulo) de cada ángulo, esto se puede volver a expresar,
Lo que implica que [5]
Ángulos entre lados y diagonales
Un cuadrilátero convexo ABCD es cíclico si y solo si un ángulo entre un lado y una diagonal es igual al ángulo entre el lado opuesto y la otra diagonal. [6] Es decir, por ejemplo,
Puntos Pascal
Otras condiciones necesarias y suficientes para que un cuadrilátero convexo ABCD sea cíclico son: sea E el punto de intersección de las diagonales, sea F el punto de intersección de las extensiones de los lados AD y BC , seaser un círculo cuyo diámetro es el segmento, EF , y sean P y Q puntos Pascal en los lados AB y CD formados por el círculo.
(1) ABCD es un cuadrilátero cíclico si y solo si los puntos P y Q son colineales con el centro O , del círculo.
(2) ABCD es un cuadrilátero cíclico si y solo si los puntos P y Q son los puntos medios de los lados AB y CD . [2]
Intersección de diagonales
Si dos líneas, una que contiene el segmento AC y la otra que contiene el segmento BD , se cruzan en P , entonces los cuatro puntos A , B , C , D son concíclicos si y solo si [7]
La intersección P puede ser interna o externa al círculo. En el primer caso, el cuadrilátero cíclico es ABCD , y en el último caso, el cuadrilátero cíclico es ABDC . Cuando la intersección es interna, la igualdad establece que el producto de las longitudes de los segmentos en los que P divide una diagonal es igual a la de la otra diagonal. Esto se conoce como el teorema de las cuerdas que se cruzan, ya que las diagonales del cuadrilátero cíclico son cuerdas de la circunferencia.
El teorema de Ptolomeo
Teorema de Ptolomeo expresa el producto de las longitudes de las dos diagonales e y f de un cuadrilátero cíclico como igual a la suma de los productos de lados opuestos: [8] : p.25 [2]
- , donde a, b, c, d son las longitudes de los lados en orden.
Lo contrario también es cierto. Es decir, si esta ecuación se satisface en un cuadrilátero convexo, entonces se forma un cuadrilátero cíclico.
Triángulo diagonal
En un cuadrilátero convexo ABCD , sea EFG el triángulo diagonal de ABCD y seaser el círculo de nueve puntos de EFG . ABCD es cíclico si y solo si el punto de intersección de los bimedianos de ABCD pertenece al círculo de nueve puntos. [9] [10] [2]
Área
El área K de un cuadrilátero cíclico con lados a , b , c , d viene dada por la fórmula de Brahmagupta [8] : p.24
donde s , el semiperímetro , es s =1/2( a + b + c + d ) . Este es un corolario de la fórmula de Bretschneider para el cuadrilátero general, ya que los ángulos opuestos son suplementarios en el caso cíclico. Si también d = 0 , el cuadrilátero cíclico se convierte en un triángulo y la fórmula se reduce a la fórmula de Heron .
El cuadrilátero cíclico tiene un área máxima entre todos los cuadriláteros que tienen las mismas longitudes de lado (independientemente de la secuencia). Este es otro corolario de la fórmula de Bretschneider. También se puede demostrar mediante cálculo . [11]
Cuatro longitudes desiguales, cada una menor que la suma de las otras tres, son los lados de cada uno de los tres cuadriláteros cíclicos no congruentes, [12] que según la fórmula de Brahmagupta tienen todos la misma área. Específicamente, para los lados a , b , c , y d , con el lado de una podría ser opuesta cualquiera de lado b , lado c , o de lado d .
El área de un cuadrilátero cíclico con lados sucesivos un , b , c , d y el ángulo B entre los lados una y b pueden expresarse como [8] : p.25
o [8] : pág.26
donde θ es cualquier ángulo entre las diagonales. Siempre que A no sea un ángulo recto, el área también se puede expresar como [8] : p.26
Otra fórmula es [13] : p.83
donde R es el radio de la circunferencia . Como consecuencia directa, [14]
donde hay igualdad si y solo si el cuadrilátero es un cuadrado.
Diagonales
En un cuadrilátero cíclico con vértices sucesivos A , B , C , D y los lados un = AB , b = BC , c = CD , y d = DA , las longitudes de las diagonales p = AC y q = BD puede ser expresada en términos de los lados como [8] : p.25, [15] [16] : p. 84
- y
mostrando el teorema de Ptolomeo
Según el segundo teorema de Ptolomeo , [8] : p.25, [15]
usando las mismas notaciones que arriba.
Para la suma de las diagonales tenemos la desigualdad [17] : p.123, # 2975
La igualdad es válida si y solo si las diagonales tienen la misma longitud, lo que puede demostrarse utilizando la desigualdad AM-GM .
Además, [17] : p.64, # 1639
En cualquier cuadrilátero convexo, las dos diagonales juntas dividen el cuadrilátero en cuatro triángulos; en un cuadrilátero cíclico, los pares opuestos de estos cuatro triángulos son similares entre sí.
Si M y N son los puntos medios de las diagonales AC y BD , entonces [18]
donde E y F son los puntos de intersección de las extensiones de lados opuestos.
Si ABCD es un cuadrilátero cíclico donde AC se encuentra con BD en E , entonces [19]
Un conjunto de lados que puede formar un cuadrilátero cíclico se puede organizar en cualquiera de las tres secuencias distintas, cada una de las cuales puede formar un cuadrilátero cíclico de la misma área en el mismo círculo circunscrito (las áreas son las mismas según la fórmula del área de Brahmagupta). Dos de estos cuadriláteros cíclicos tienen una longitud diagonal en común. [16] : pág. 84
Fórmulas de ángulos
Para un cuadrilátero cíclico con lados sucesivos a , b , c , d , semiperímetro s , y el ángulo A entre los lados una y d , las funciones trigonométricas de A son dados por [20]
El ángulo θ entre las diagonales satisface [8] : p.26
Si las prolongaciones de lados opuestos a y c se cruzan en un ángulo φ , entonces
donde s es el semiperímetro . [8] : pág . 31
Fórmula de circunradio de Parameshvara
Un cuadrilátero cíclico con lados sucesivos un , b , c , d y semiperímetro s tiene la circunferencia circunscrita (el radio de la circunferencia circunscrita ) dado por [15] [21]
Esto fue derivado por el matemático indio Vatasseri Parameshvara en el siglo XV.
Usando la fórmula de Brahmagupta, la fórmula de Parameshvara se puede reformular como
donde K es el área del cuadrilátero cíclico.
Anticentro y colinealidades
Cuatro segmentos de línea, cada uno perpendicular a un lado de un cuadrilátero cíclico y que pasa por el punto medio del lado opuesto , son concurrentes . [22] : pág. 131; [23] Estos segmentos de línea se denominan maltitudes , [24] que es una abreviatura de altitud de punto medio. Su punto común se llama anticéntrico . Tiene la propiedad de ser el reflejo del circuncentro en el "centroide del vértice" . Así, en un cuadrilátero cíclico, el circuncentro, el "centroide del vértice" y el anticentro son colineales . [23]
Si las diagonales de un cuadrilátero cíclico se intersecan en P , y los puntos medios de las diagonales son M y N , entonces el anticentro del cuadrilátero es el ortocentro del triángulo MNP .
Otras propiedades
- En un cuadrilátero cíclico ABCD , los incentros M 1 , M 2 , M 3 , M 4 (vea la figura de la derecha) en los triángulos DAB , ABC , BCD y CDA son los vértices de un rectángulo . Este es uno de los teoremas conocidos como teorema japonés . Los ortocentros de los mismos cuatro triángulos son los vértices de un cuadrilátero congruente con ABCD , y los centroides de esos cuatro triángulos son vértices de otro cuadrilátero cíclico. [6]
- En un cuadrilátero cíclico ABCD con circuncentro O , sea P el punto donde se cruzan las diagonales AC y BD . Entonces el ángulo APB es la media aritmética de los ángulos AOB y COD . Ésta es una consecuencia directa del teorema del ángulo inscrito y del teorema del ángulo exterior .
- No hay cuadriláteros cíclicos con área racional y con lados racionales desiguales en progresión aritmética o geométrica . [25]
- Si un cuadrilátero cíclico tiene longitudes de lados que forman una progresión aritmética, el cuadrilátero también es exbicéntrico .
- Si los lados opuestos de un cuadrilátero cíclico se extienden para encontrarse en E y F , entonces las bisectrices internas de los ángulos en E y F son perpendiculares. [12]
Cuadriláteros Brahmagupta
Un cuadrilátero de Brahmagupta [26] es un cuadrilátero cíclico con lados enteros, diagonales enteros y área entera. Todo Brahmagupta cuadriláteros con lados un , b , c , d , diagonales e , f , área de K , y circunradio R se puede obtener denominadores de compensación de las siguientes expresiones que implican parámetros racionales t , u , y v :
Caja ortodiagonal
Circunradio y área
Para un cuadrilátero cíclico que también es ortodiagonal (tiene diagonales perpendiculares), suponga que la intersección de las diagonales divide una diagonal en segmentos de longitudes p 1 y p 2 y divide la otra diagonal en segmentos de longitudes q 1 y q 2 . Entonces [27] (la primera igualdad es la Proposición 11 en el Libro de Lemas de Arquímedes )
donde D es el diámetro de la circunferencia . Esto es así porque las diagonales son cuerdas perpendiculares de un círculo . Estas ecuaciones implican que el circunradio R se puede expresar como
o, en términos de los lados del cuadrilátero, como [22]
También se deduce que [22]
Por lo tanto, de acuerdo con el teorema de Euler cuadrilátero , la circunradio se puede expresar en términos de las diagonales p y q , y la distancia x entre los puntos medios de las diagonales como
Una fórmula para el área K de un cuadrilátero ortodiagonal cíclico en términos de los cuatro lados se obtiene directamente al combinar el teorema de Ptolomeo y la fórmula para el área de un cuadrilátero ortodiagonal . El resultado es [28] : p.222
Otras propiedades
- En un cuadrilátero ortodiagonal cíclico, el anticéntrico coincide con el punto de intersección de las diagonales. [22]
- El teorema de Brahmagupta establece que para un cuadrilátero cíclico que también es ortodiagonal , la perpendicular desde cualquier lado a través del punto de intersección de las diagonales biseca el lado opuesto. [22]
- Si un cuadrilátero cíclico también es ortodiagonal, la distancia desde el circuncentro a cualquier lado es igual a la mitad de la longitud del lado opuesto. [22]
- En un cuadrilátero ortodiagonal cíclico, la distancia entre los puntos medios de las diagonales es igual a la distancia entre el circuncentro y el punto donde las diagonales se cruzan. [22]
Cuadriláteros cíclicos esféricos
En geometría esférica , un cuadrilátero esférico formado por cuatro círculos mayores que se cruzan es cíclico si y solo si las sumas de los ángulos opuestos son iguales, es decir, α + γ = β + δ para ángulos consecutivos α, β, γ, δ del cuadrilátero . [29] IA Lexell demostró una dirección de este teorema en 1786. Lexell [30] mostró que en un cuadrilátero esférico inscrito en un pequeño círculo de una esfera las sumas de los ángulos opuestos son iguales, y que en el cuadrilátero circunscrito las sumas de lados opuestos son iguales. El primero de estos teoremas es el análogo esférico de un teorema plano, y el segundo teorema es su dual, es decir, el resultado de intercambiar grandes círculos y sus polos. [31] Kiper y col. [32] demostró un inverso del teorema: si las sumas de los lados opuestos son iguales en un cuadrilátero esférico, entonces existe un círculo de inscripción para este cuadrilátero.
Ver también
- Teorema de la mariposa
- Polígono cíclico
- Poder de un punto
- Tabla de acordes de Ptolomeo
- Pentágono robbins
Referencias
- ^ a b Usiskin, Zalman; Griffin, Jennifer; Witonsky, David; Willmore, Edwin (2008), "10. Cuadriláteros cíclicos" , The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition , Investigación en educación matemática, IAP, págs. 63–65, ISBN 978-1-59311-695-8
- ^ a b c d Fraivert, David; Sigler, Avi; Stupel, Moshe (2020), "Propiedades necesarias y suficientes para un cuadrilátero cíclico", Revista Internacional de Educación Matemática en Ciencia y Tecnología , 51 (6): 913–938, doi : 10.1080 / 0020739X.2019.1683772 , S2CID 209930435
- ^ Joyce, DE (junio de 1997), "Libro 3, Proposición 22" , Euclid's Elements , Clark University
- ^ Gregory, Duncan (1836), "geométrico Teorema", Cambridge Mathematical Diario , 1 : 92.
- ^ Hajja, Mowaffaq (2008), "Una condición para que un cuadrilátero circunscriptible sea cíclico" (PDF) , Forum Geometricorum , 8 : 103–6
- ^ a b Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2004), "2.3 Quads cíclicos" , Tesoros de la Olimpiada Matemática , Springer, págs. 44–46, 50 , ISBN 978-0-8176-4305-8, Señor 2025063
- ^ Bradley, Christopher J. (2007), El álgebra de la geometría: coordenadas cartesianas, areales y proyectivas , alta percepción, p. 179, ISBN 978-1906338008, OCLC 213434422
- ^ a b c d e f g h yo Durell, CV; Robson, A. (2003) [1930], Trigonometría avanzada , Courier Dover, ISBN 978-0-486-43229-8
- ^ Fraivert, David (julio de 2019). "Nuevos puntos que pertenecen al círculo de nueve puntos". La Gaceta Matemática . 103 (557): 222–232. doi : 10.1017 / mag.2019.53 .
- ^ Fraivert, David (2018). "Nuevas aplicaciones del método de números complejos en la geometría de cuadriláteros cíclicos" (PDF) . Revista Internacional de Geometría . 7 (1): 5–16.
- ^ Peter, Thomas (septiembre de 2003), "Maximizar el área de un cuadrilátero", The College Mathematics Journal , 34 (4): 315–6, doi : 10.2307 / 3595770 , JSTOR 3595770
- ^ a b Coxeter, Harold Scott MacDonald; Greitzer, Samuel L. (1967), "3.2 Cuadrángulos cíclicos; fórmula de Brahmagupta" , Geometry Revisited , Asociación Matemática de América, págs. 57, 60, ISBN 978-0-88385-619-2
- ^ Prasolov, Viktor, Problemas en geometría plana y sólida: geometría plana v.1 (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 21 de septiembre de 2018 , consultado el 6 de noviembre de 2011
- ^ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger (2009), "4.3 Cuadriláteros cíclicos, tangenciales y bicéntricos" , Cuando menos es más: Visualización de desigualdades básicas , Asociación Matemática de América, p. 64, ISBN 978-0-88385-342-9
- ^ a b c Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2007), "Sobre las diagonales de un cuadrilátero cíclico" (PDF) , Forum Geometricorum , 7 : 147–9
- ↑ a b Johnson, Roger A., Geometría euclidiana avanzada , Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
- ↑ a b Desigualdades propuestas en " Crux Mathematicorum " , 2007, [1] .
- ^ " ABCD es un cuadrilátero cíclico. Sean M , N los puntos medios de las diagonales AC , BD respectivamente ..." El arte de la resolución de problemas . 2010.
- ^ A. Bogomolny , An Identity in (Cyclic) Quadrilaterals, Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles , [2] , consultado el 18 de marzo de 2014.
- ^ Siddons, AW; Hughes, RT (1929), Trigonometría , Cambridge University Press, pág. 202, OCLC 429528983
- ^ Hoehn, Larry (marzo de 2000), "Circumradius of a cyclic quadrilateral", Mathematical Gazette , 84 (499): 69–70, doi : 10.2307 / 3621477 , JSTOR 3621477
- ^ a b c d e f g Altshiller-Court, Nathan (2007) [1952], College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2ª ed.), Courier Dover, págs. 131, 137–8, ISBN 978-0-486-45805-2, OCLC 78063045
- ^ a b Honsberger, Ross (1995), "4.2 Cuadriláteros cíclicos" , Episodios en geometría euclidiana de los siglos XIX y XX , New Mathematical Library, 37 , Cambridge University Press, págs. 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0
- ^ Weisstein, Eric W. "Maltitude" . MathWorld .
- ^ Buchholz, RH; MacDougall, JA (1999), "Cuadriláteros Heron con lados en progresión aritmética o geométrica", Boletín de la Sociedad Australiana de Matemáticas , 59 (2): 263–9, doi : 10.1017 / S0004972700032883 , MR 1680787
- ^ Sastry, KRS (2002). "Cuadriláteros de Brahmagupta" (PDF) . Foro Geometricorum . 2 : 167-173.
- ^ Posamentier, Alfred S .; Salkind, Charles T. (1970), "Soluciones: 4-23 Demuestre que la suma de los cuadrados de las medidas de los segmentos formados por dos cuerdas perpendiculares es igual al cuadrado de la medida del diámetro del círculo dado". , Problemas desafiantes en geometría (2ª ed.), Courier Dover, págs. 104–5 , ISBN 978-0-486-69154-1
- ^ Josefsson, Martin (2016), "Propiedades de los cuadriláteros pitagóricos", The Mathematical Gazette , 100 (julio): 213-224, doi : 10.1017 / mag.2016.57.
- ^ Wimmer, Lienhard (2011). "Polígonos cíclicos en geometría no euclidiana" . Elemente der Mathematik . 66 (2): 74–82. doi : 10.4171 / EM / 173 .
- ^ Lexell, AJ (1786). "De proprietatibus circulorum in superficie sphaerica descriptorum". Acta Acad. Sci. Petropol . 6 (1): 58–103.
- ^ Rosenfeld, BA (1988). Una historia de la geometría no euclidiana - Springer . Estudios de Historia de las Matemáticas y Ciencias Físicas. 12 . doi : 10.1007 / 978-1-4419-8680-1 . ISBN 978-1-4612-6449-1.
- ^ Kiper, Gökhan; Söylemez, Eres (1 de mayo de 2012). "Vínculos homotéticos similares a Jitterbug". Teoría de Mecanismos y Máquinas . 51 : 145-158. doi : 10.1016 / j.mechmachtheory.2011.11.014 .
Otras lecturas
- D. Fraivert: cuadriláteros de puntos Pascal inscritos en un cuadrilátero cíclico
enlaces externos
- Derivación de la fórmula para el área del cuadrilátero cíclico
- Incentros en cuadrilátero cíclico en el corte del nudo
- Cuatro líneas concurrentes en un cuadrilátero cíclico al cortar el nudo
- Weisstein, Eric W. "Cuadrilátero cíclico" . MathWorld .