En geometría euclidiana , el teorema de la bandera británica dice que si se elige un punto P dentro del rectángulo ABCD, entonces la suma de los cuadrados de las distancias euclidianas de P a dos esquinas opuestas del rectángulo es igual a la suma de las otras dos esquinas opuestas. [1] [2] [3] Como ecuación :
El teorema también se aplica a puntos fuera del rectángulo y, más generalmente, a las distancias desde un punto en el espacio euclidiano a las esquinas de un rectángulo incrustado en el espacio. [4] Incluso de manera más general, si se comparan las sumas de cuadrados de distancias desde un punto P a los dos pares de esquinas opuestas de un paralelogramo , las dos sumas no serán en general iguales, pero la diferencia de las dos sumas dependerá sólo en la forma de paralelogramo y no en la elección de P . [5]
El teorema también se puede considerar como una generalización del teorema de Pitágoras. Al colocar el punto P en cualquiera de los cuatro vértices del rectángulo, el cuadrado de la diagonal del rectángulo es igual a la suma de los cuadrados del ancho y largo del rectángulo, que es el teorema de Pitágoras.
Prueba
Haga caer líneas perpendiculares desde el punto P a los lados del rectángulo, uniendo los lados AB , BC , CD y AD en los puntos W , X , Y y Z respectivamente, como se muestra en la figura; estos cuatro puntos WXYZ forman los vértices de un cuadrilátero ortodiagonal . Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo AWP y observando que WP = AZ , se sigue que
y mediante un argumento similar, los cuadrados de las longitudes de las distancias desde P a las otras tres esquinas se pueden calcular como
- y
Por lo tanto:
Nombrar
Este teorema toma su nombre del hecho de que, cuando se dibujan los segmentos de línea desde P hasta las esquinas del rectángulo, junto con las líneas perpendiculares utilizadas en la demostración, la figura completa se parece un poco a una bandera de la Unión .
Referencias
- ^ Lardner, Dionisio (1848), Los primeros seis libros de los elementos de Euclides , HG Bohn, p. 87. Lardner incluye este teorema en lo que él llama "los teoremas más útiles y notables que pueden inferirse" de los resultados del Libro II de los Elementos de Euclides .
- ^ Young, John Wesley ; Morgan, Frank Millett (1917), Análisis matemático elemental , The Macmillan Company, p. 304.
- ^ Bôcher, Maxime (1915), Plane Analytic Geometry: con capítulos introductorios sobre el cálculo diferencial , H. Holt and Company, p. 17.
- ^ Soluciones de torneo de matemáticas de Harvard-MIT Archivado 2018-12-22 en Wayback Machine , Problema 28.
- ^ Hadamard, Jacques (2008), Lecciones de geometría: geometría plana , American Mathematical Society, p. 136, ISBN 978-0-8218-4367-3.
Otras lecturas
- Nguyen Minh Ha, Dao Thanh Oai: una aplicación interesante del teorema de la bandera británica . Revista mundial de investigación avanzada sobre geometrías clásicas y modernas, volumen 4 (2015), número 1, págs. 31–34.
- Martin Gardner , Dana Richards (ed.): El libro colosal de rompecabezas y problemas cortos . WW Norton, 2006, ISBN 978-0-393-06114-7 , págs.147, 159 (problema 6.16)
enlaces externos
- Teorema de la bandera británica en artofproblemsolving.com
- ¿Puede resolver la pregunta de la entrevista de Microsoft Rectangle Corners? (video, 5:41 minutos)