Una superficie browniana es una superficie fractal generada mediante una función de elevación fractal . [1] [2] [3]
Al igual que con el movimiento browniano , las superficies brownianas llevan el nombre del biólogo del siglo XIX Robert Brown .
Ejemplo
Por ejemplo, en el caso tridimensional, donde dos variables X e Y se dan como coordenadas, la función de elevación entre dos puntos cualesquiera ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ) se puede configurar para que tenga una media o valor esperado que aumenta como la distancia del vector entre ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ). [1] Sin embargo, existen muchas formas de definir la función de elevación. Por ejemplo, se puede usar la variable de movimiento browniano fraccional , o se pueden usar varias funciones de rotación para lograr superficies de apariencia más natural. [2]
Generación de superficies brownianas fraccionadas
La generación eficiente de superficies brownianas fraccionadas plantea desafíos importantes. [4] Dado que la superficie browniana representa un proceso gaussiano con una función de covarianza no estacionaria, se puede utilizar el método de descomposición de Cholesky . Un método más eficiente es el método de Stein, [5] que genera un proceso gaussiano estacionario auxiliar utilizando el enfoque de incrustación circulante y luego ajusta este proceso auxiliar para obtener el proceso gaussiano no estacionario deseado. La siguiente figura muestra tres realizaciones típicas de superficies brownianas fraccionadas para diferentes valores de rugosidad o parámetro de Hurst . El parámetro de Hurst siempre está entre cero y uno, con valores más cercanos a uno correspondientes a superficies más suaves. Estas superficies se generaron utilizando una implementación de Matlab del método de Stein.
Ver también
Referencias
- ↑ a b Russ, John C. (1994). Superficies fractales, Volumen 1 . pag. 167. ISBN 0-306-44702-9.
- ^ a b Xie, Heping (1993). Fractales en mecánica de rocas . pag. 73. ISBN 90-5410-133-4.
- ^ Vicsek, Tamás (1992). Fenómenos de crecimiento fractal . pag. 40. ISBN 981-02-0668-2.
- ^ Kroese, DP ; Botev, ZI (2015). "Generación de procesos espaciales". Conferencias sobre geometría estocástica, estadística espacial y campos aleatorios, volumen II: análisis, modelado y simulación de estructuras complejas, Springer-Verlag, Berlín : 369–404. arXiv : 1308.0399 . Código bibliográfico : 2013arXiv1308.0399K . doi : 10.1007 / 978-3-319-10064-7_12 .
- ^ Stein, ML (2002). "Simulación rápida y exacta del movimiento browniano fraccional". Revista de Estadística Computacional y Gráfica . 11 (3): 587–599. doi : 10.1198 / 106186002466 .