En matemáticas , un grupo abeliano libre o un módulo Z libre es un grupo abeliano con una base o, de manera equivalente, un módulo libre sobre los números enteros. Ser un grupo abeliano significa que es un conjunto con una operación de suma asociativa , conmutativa e invertible. Una base, también llamada base integral, es un subconjunto tal que cada elemento del grupo puede expresarse de forma única como una combinación lineal de elementos base con un número entero.coeficientes. Por ejemplo, los enteros con suma forman un grupo abeliano libre con base {1}. Los grupos abelianos libres tienen propiedades que los hacen similares a los espacios vectoriales . Tienen aplicaciones en topología algebraica , donde se utilizan para definir grupos de cadenas , y en geometría algebraica , donde se utilizan para definir divisores . Las celosías enteras también forman ejemplos de grupos abelianos libres, y la teoría de celosías estudia subgrupos abelianos libres de espacios vectoriales reales.
Los elementos de un grupo abeliano libre con base B pueden describirse de varias formas equivalentes. Estos incluyen sumas formales sobre B , que son expresiones de la formadonde cada coeficiente a i es un número entero distinto de cero, cada factor b i es un elemento base distinto y la suma tiene un número finito de términos. Alternativamente, los elementos de un grupo abeliano libre pueden ser considerados como firmados conjuntos múltiples que contienen un número finito de elementos de B , con la multiplicidad de un elemento en el conjunto múltiple igual a su coeficiente en la suma formal. Otra forma de representar un elemento de un grupo abeliano libre es como una función de B a los números enteros con un número finito de valores distintos de cero; para esta representación funcional, la operación de grupo es la suma puntual de funciones.
Cada conjunto B tiene un grupo abeliano libre con B como base. Este grupo es único en el sentido de que cada dos grupos abelianos libres con la misma base son isomorfos . En lugar de construirlo mediante la descripción de sus elementos individuales, un grupo libre con base B se puede construir como una suma directa de copias del grupo aditivo de los números enteros, con una copia por cada miembro de B . Alternativamente, el grupo abeliano libre con base B puede describirse mediante una presentación con los elementos de B como sus generadores y con los conmutadores de pares de miembros como sus relatores. El rango de un grupo abeliano libre es la cardinalidad de una base; cada dos bases para el mismo grupo dan el mismo rango, y cada dos grupos abelianos libres con el mismo rango son isomorfos. Cada subgrupo de un grupo abeliano libre es en sí mismo abeliano libre; este hecho permite entender un grupo abeliano general como un cociente de un grupo abeliano libre por "relaciones", o como un cokernel de un homomorfismo inyectivo entre grupos abelianos libres. Los únicos grupos abelianos libres que son grupos libres son el grupo trivial y el grupo cíclico infinito .
Ejemplos y construcciones
Enteros y celosías
Los enteros , bajo la operación de suma, forman un grupo abeliano libre con la base {1}. Todo número entero n es una combinación lineal de elementos básicos con coeficientes enteros: a saber, n = n × 1, con el coeficiente n .
La retícula de enteros bidimensional , que consta de los puntos en el plano con coordenadas cartesianas enteras , forma un grupo abeliano libre bajo la suma de vectores con la base {(0,1), (1,0)}. [1] Denotamos estos vectores base y , el elemento (4,3) se puede escribir
- donde 'multiplicación' se define de modo que
Sobre esta base, no hay otra forma de escribir (4,3). Sin embargo, con una base diferente como {(1,0), (1,1)}, donde y , se puede escribir como
De manera más general, cada celosía forma un grupo abeliano libre finitamente generado . [2] La red de enteros d -dimensional tiene una base natural que consiste en los vectores unitarios enteros positivos , pero también tiene muchas otras bases: si M es una matriz entera d × d con determinante ± 1, entonces las filas de M forman una base y, a la inversa, todas las bases del entramado de números enteros tienen esta forma. [3] Para obtener más información sobre el caso bidimensional, consulte el par de períodos fundamentales .
Sumas directas, productos directos y grupo trivial
El producto directo de dos grupos abelianos libres es en sí mismo abeliano libre, con base en la unión disociada de las bases de los dos grupos. [4] Más generalmente, el producto directo de cualquier número finito de grupos abelianos libres es abeliano libre. El d -dimensional número entero de celosía, por ejemplo, es isomorfo al producto directo de d copias del grupo de enteros Z .
El grupo trivial {0} también se considera abeliano libre, con base en el conjunto vacío . [5] Se puede interpretar como un producto directo de cero copias de Z .
Para familias infinitas de grupos abelianos libres, el producto directo (la familia de tuplas de elementos de cada grupo, con suma puntual) no es necesariamente abeliano libre. [4] Por ejemplo, el grupo Baer-Specker , Un grupo incontable formado como producto directo de numerable muchas copias de, Reinhold Baer demostró en 1937 que no era abeliano libre; [6] Ernst Specker demostró en 1950 que cada subgrupo contable dees abeliano libre. [7] La suma directa de un número finito de grupos es igual que el producto directo, pero difiere del producto directo en un número infinito de sumandos; sus elementos consisten en tuplas de elementos de cada grupo con todos menos un número finito de ellos iguales al elemento de identidad. Como en el caso de un número finito de sumandos, la suma directa de un número infinito de grupos abelianos libres sigue siendo abeliano libre, con una base formada por (las imágenes de) una unión disjunta de las bases de los sumandos. [4]
El producto tensorial de dos grupos abelianos libres es siempre abeliano libre, con una base que es el producto cartesiano de las bases de los dos grupos en el producto. [8]
Cada grupo abeliano libre puede describirse como una suma directa de copias de , con una copia para cada miembro de su base. [9] [10] Esta construcción permite que cualquier conjunto B se convierta en la base de un grupo abeliano libre. [11]
Funciones enteras y sumas formales
Dado un conjunto B , se puede definir un grupocuyos elementos son funciones desde B hasta números enteros, donde el paréntesis en el superíndice indica que solo se incluyen las funciones con un número finito de valores distintos de cero. Si f ( x ) y g ( x ) son dos de esas funciones, entonces f + g es la función cuyos valores son sumas de los valores en f y g : es decir, ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ). Esta operación de suma puntual dala estructura de un grupo abeliano. [12]
Cada elemento x del conjunto B dado corresponde a un miembro de, la función e x para la cual e x ( x ) = 1 y para la cual e x ( y ) = 0 para todo y ≠ x . Cada función f en es únicamente una combinación lineal de un número finito de elementos básicos:
Por tanto, estos elementos e x forman una base para, y es un grupo abeliano libre. De esta manera, cada conjunto B puede convertirse en la base de un grupo abeliano libre. [12]
El grupo abeliano libre con base B es de hasta el isomorfismo único, y sus elementos se conoce como sumas formales de elementos de B . También pueden ser interpretados como los firmados conjuntos múltiples de un número finito de elementos de B . Por ejemplo, en topología algebraica , las cadenas son sumas formales de simples , y el grupo de cadenas es el grupo abeliano libre cuyos elementos son cadenas. [13] En geometría algebraica , los divisores de una superficie de Riemann (una descripción combinatoria de los ceros y polos de funciones meromórficas ) forman un grupo abeliano libre incontable, que consiste en las sumas formales de puntos de la superficie. [14]
Presentación
Una presentación de un grupo es un conjunto de elementos que generan el grupo (todos los elementos del grupo son productos de un número finito de generadores), junto con "relatores", productos de generadores que dan el elemento de identidad. El grupo abeliano libre con base B tiene una presentación en la que los generadores son los elementos de B , y los relatores son los conmutadores de pares de elementos de B . Aquí, el conmutador de dos elementos x y y es el producto x -1 y -1 xy ; el establecimiento de este producto a la identidad causas xy al igual yx , de modo que x y y conmute. De manera más general, si todos los pares de generadores se conmutan, todos los pares de productos de generadores también se conmutan. Por lo tanto, el grupo generado por esta presentación es abeliano, y los relatores de la presentación forman un conjunto mínimo de relatores necesarios para asegurar que sea abeliano. [15]
Cuando el conjunto de generadores es finito, la presentación también es finita. Este hecho, junto con el hecho de que cada subgrupo de un grupo abeliano libre es abeliano libre ( abajo ) puede usarse para mostrar que cada grupo abeliano finitamente generado se presenta finitamente. Porque, si G está finitamente generado por un conjunto B , se trata de un cociente del grupo abeliano libre sobre B por un subgrupo abeliano libre, el subgrupo generado por los Relatores de la presentación de G . Pero puesto que este subgrupo es a sí mismo libre abeliano, también es finitamente generado, y su base (junto con los conmutadores más de B ) forma un conjunto finito de relatores para una presentación de G . [dieciséis]
Terminología
Cada grupo abeliano puede considerarse como un módulo sobre los números enteros considerando la multiplicación escalar de un miembro del grupo por un número entero definido de la siguiente manera: [17]
Un módulo libre es un módulo que se puede representar como una suma directa sobre su anillo base, por lo que grupos abelianos libres y libres-los módulos son conceptos equivalentes: cada grupo abeliano libre es (con la operación de multiplicación anterior) un -módulo, y cada uno gratis -módulo proviene de un grupo abeliano libre de esta manera. [18]
A diferencia de los espacios vectoriales , no todos los grupos abelianos tienen una base, de ahí el nombre especial para aquellos que la tienen. Por ejemplo, cualquier torsión -module, y por lo tanto cualquier grupo abeliano finito, no es un grupo abeliano libre, porque 0 puede descomponerse de varias formas en cualquier conjunto de elementos que podrían ser candidatos para una base: para algún entero positivo n . Por otro lado, muchas propiedades importantes de los grupos abelianos libres pueden generalizarse a módulos libres sobre un dominio ideal principal . [19]
Tenga en cuenta que un grupo abeliano libre no es un grupo libre excepto en dos casos: un grupo abeliano libre que tiene una base vacía (rango 0, dando el grupo trivial ) o que tiene solo 1 elemento en la base (rango 1, dando el grupo cíclico infinito) ). [5] [20] Otros grupos abelianos no son grupos libres porque en grupos libres ab debe ser diferente de ba si un y b son diferentes elementos de la base, mientras que en los grupos abelianos libres deben ser idénticos. Los grupos libres son los objetos libres en la categoría de grupos , es decir, los grupos "más generales" o "menos restringidos" con un número dado de generadores, mientras que los grupos abelianos libres son los objetos libres en la categoría de grupos abelianos . [21] En la categoría general de grupos, es una restricción adicional exigir que ab = ba , mientras que esta es una propiedad necesaria en la categoría de grupos abelianos.
Propiedades
Propiedad universal
Un grupo abeliano libre con base tiene la siguiente propiedad universal : para cada función de a un grupo abeliano , existe un homomorfismo de grupo único de a que se extiende . [5] Por una propiedad general de las propiedades universales, esto muestra que "el" grupo abeliano de basees único hasta un isomorfismo. Por lo tanto, la propiedad universal se puede utilizar como una definición del grupo abeliano libre de base. La unicidad del grupo definido por esta propiedad muestra que todas las demás definiciones son equivalentes. [11]
Rango
Cada dos bases del mismo grupo abeliano libre tienen la misma cardinalidad , por lo que la cardinalidad de una base forma una invariante del grupo conocido como su rango. [22] [23] En particular, un grupo abeliano libre se genera finitamente si y solo si su rango es un número finito n , en cuyo caso el grupo es isomorfo a.
Esta noción de rango puede generalizarse, desde grupos abelianos libres hasta grupos abelianos que no son necesariamente libres. El rango de un grupo abeliano G se define como el rango de un subgrupo abeliano libre F de G para el cual el grupo cociente G / F es un grupo de torsión . De manera equivalente, es la cardinalidad de un subconjunto máximo de G lo que genera un subgrupo libre. De nuevo, este es un grupo invariante; no depende de la elección del subgrupo. [24]
Subgrupos
Cada subgrupo de un grupo abeliano libre es en sí mismo un grupo abeliano libre. Este resultado de Richard Dedekind [25] fue un precursor del teorema análogo de Nielsen-Schreier de que todo subgrupo de un grupo libre es libre, y es una generalización del hecho de que todo subgrupo no trivial del grupo cíclico infinito es cíclico infinito . La prueba necesita el axioma de elección . [26] Una prueba usando el lema de Zorn (una de muchas suposiciones equivalentes al axioma de elección) se pueden encontrar en Serge Lang 's Algebra . [27] Solomon Lefschetz e Irving Kaplansky han afirmado que el uso del principio de ordenamiento correcto en lugar del lema de Zorn conduce a una demostración más intuitiva. [10]
En el caso de grupos abelianos libres generados finitamente, la demostración es más fácil, no necesita el axioma de elección y conduce a un resultado más preciso. Si es un subgrupo de un grupo abeliano libre finitamente generado , luego es gratis y existe una base de y enteros positivos (es decir, cada uno divide al siguiente) de modo que es una base de Además, la secuencia depende solo de y y no sobre la base particular eso resuelve el problema. [28] Cualquier algoritmo que calcule la forma normal de Smith de una matriz de enteros proporciona una prueba constructiva de la parte de existencia del teorema . [29] La singularidad se deriva del hecho de que, para cualquier, el máximo común divisor de los menores de rango de la matriz no cambia durante el cálculo de la forma normal de Smith y es el producto al final del cálculo. [30]
Como cada grupo abeliano generado finitamente es el cociente de un grupo abeliano libre generado finitamente por un submódulo, el teorema fundamental de los grupos abelianos generados finitamente es un corolario del resultado anterior.
Torsión y divisibilidad
Todos los grupos abelianos libres están libres de torsión , lo que significa que no hay ningún elemento de grupo (no identidad) y un entero distinto de cero tal que . Por el contrario, todos los grupos abelianos libres de torsión generados finitamente son abelianos libres. [5] [31] Lo mismo se aplica a la planitud , ya que un grupo abeliano está libre de torsión si y solo si es plano.
El grupo aditivo de números racionales proporciona un ejemplo de un grupo abeliano libre de torsión (pero no generado de forma finita) que no es abeliano libre. [32] Una razón por la queno es abeliano libre es que es divisible , lo que significa que, para cada elemento y cada entero distinto de cero , es posible expresar como un múltiplo escalar de otro elemento . Por el contrario, los grupos abelianos libres distintos de cero nunca son divisibles, porque es imposible que cualquiera de sus elementos base sean múltiplos enteros no triviales de otros elementos. [33]
Relación con otros grupos abelianos
Dado un grupo abeliano arbitrario , siempre existe un grupo abeliano libre y un homomorfismo de grupo sobreyectivo de a . Una forma de construir una sobreyección en un grupo dado es dejar ser el grupo abeliano libre sobre , representado como sumas formales. Entonces se puede definir una sobreyección mapeando sumas formales en a las sumas correspondientes de miembros de . Es decir, los mapas de sobreyección
dónde es el coeficiente entero del elemento base en una suma formal dada, la primera suma está en , y la segunda suma está en . [23] [34] Esta sobreyección es el homomorfismo de grupo único que extiende la función, por lo que su construcción puede verse como una instancia de la propiedad universal.
Cuándo y son como arriba, el kernel de la sobreyección de a también es abeliano libre, ya que es un subgrupo de (el subgrupo de elementos asignados a la identidad). Por lo tanto, estos grupos forman una secuencia corta y exacta
en el cual y son abelianos libres y es isomorfo al grupo de factores . Esta es una resolución gratuita de. [35] Además, asumiendo el axioma de elección , [36] los grupos abelianos libres son precisamente los objetos proyectivos en la categoría de grupos abelianos . [37]
Aplicaciones
Topología algebraica
En topología algebraica , una suma formal de-los simplices dimensionales se llama un-cadena, y el grupo abeliano libre que tiene una colección de -simplices como su base se llama grupo de cadena. Los simplices se toman generalmente de algún espacio topológico, por ejemplo, como el conjunto de-simplices en un complejo simplicial , o el conjunto de singular -simplices en un colector . Alguna-dimensional simplex tiene un límite que se puede representar como una suma formal de simplices dimensionales, y la propiedad universal de los grupos abelianos libres permite que este operador de frontera se extienda a un homomorfismo de grupo de-cadenas para -cadenas. El sistema de grupos de cadenas unidos por operadores de límites de esta manera forma un complejo de cadenas , y el estudio de los complejos de cadenas forma la base de la teoría de la homología . [38]
Geometría algebraica y análisis complejo
Cada función racional sobre los números complejos se puede asociar con un conjunto múltiple de números complejos con signo., los ceros y polos de la función (puntos donde su valor es cero o infinito). La multiplicidadde un punto en este multiconjunto es su orden como cero de la función, o la negación de su orden como polo. Luego, la función en sí se puede recuperar a partir de estos datos, hasta un factor escalar , como
Si estos conjuntos múltiples se interpretan como miembros de un grupo abeliano libre sobre los números complejos, entonces el producto o cociente de dos funciones racionales corresponde a la suma o diferencia de dos miembros del grupo. Por lo tanto, el grupo multiplicativo de funciones racionales se puede factorizar en el grupo multiplicativo de números complejos (los factores escalares asociados para cada función) y el grupo abeliano libre sobre los números complejos. Las funciones racionales que tienen un valor límite distinto de cero en el infinito (las funciones meromórficas en la esfera de Riemann ) forman un subgrupo de este grupo en el que la suma de las multiplicidades es cero. [39]
Esta construcción se ha generalizado, en geometría algebraica , a la noción de divisor . Existen diferentes definiciones de divisores, pero en general forman una abstracción de una subvariedad de codimensión uno de una variedad algebraica , el conjunto de puntos de solución de un sistema de ecuaciones polinomiales. En el caso donde el sistema de ecuaciones tiene un grado de libertad (sus soluciones forman una curva algebraica o superficie de Riemann ), una subvariedad tiene codimensión uno cuando consta de puntos aislados, y en este caso un divisor es nuevamente un multiset de puntos con signo. de la variedad. Las funciones meromórficas en una superficie compacta de Riemann tienen un número finito de ceros y polos, y sus divisores pueden representarse nuevamente como elementos de un grupo abeliano libre, con la multiplicación o división de funciones correspondientes a la suma o resta de elementos del grupo. Sin embargo, en este caso hay restricciones adicionales en el divisor más allá de tener una suma cero de multiplicidades. [39]
Ver también
- Anillo de grupo , un anillo definido por la combinación de un grupo multiplicativo y otro anillo; cuando el anillo de definición son los números enteros, el grupo aditivo del anillo de grupo es el grupo abeliano libre sobre el grupo de definición. [40]
Referencias
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