En el campo matemático de la geometría convexa , el problema de Busemann-Petty , introducido por Herbert Busemann y Clinton Myers Petty ( 1956 , problema 1), pregunta si es cierto que un cuerpo convexo simétrico con secciones centrales de hiperplano más grandes tiene un volumen mayor. Más precisamente, si K , T son cuerpos convexos simétricos en R n tales que
para cada hiperplano A que pasa por el origen, ¿es cierto que Vol n K ≤ Vol n T ?
Busemann y Petty demostraron que la respuesta es positiva si K es una pelota. En general, la respuesta es positiva en dimensiones como máximo 4 y negativa en dimensiones al menos 5.
Historia
Larman y Claude Ambrose Rogers ( 1975 ) demostraron que el problema de Busemann-Petty tiene una solución negativa en dimensiones de al menos 12, y varios otros autores redujeron este límite a dimensiones de al menos 5. Ball (1988) señaló un contraejemplo particularmente simple: todas las secciones del cubo de volumen unitario tienen una medida de al menos √ 2 , mientras que en dimensiones de al menos 10 todas las secciones centrales de la bola de volumen unitario tienen una medida de al menos √ 2 . Lutwak (1988) introdujo los cuerpos de intersección y mostró que el problema de Busemann-Petty tiene una solución positiva en una dimensión dada si y solo si todo cuerpo convexo simétrico es un cuerpo de intersección. Un cuerpo de intersección es un cuerpo estrella cuya función radial en una dirección dada u es el volumen de la sección hiperplano u ⊥ ∩ K por alguna cuerpo estrella fija K . Gardner (1994) usó el resultado de Lutwak para mostrar que el problema de Busemann-Petty tiene una solución positiva si la dimensión es 3. Zhang (1994) afirmó incorrectamente que el cubo unitario en R 4 no es un cuerpo de intersección, lo que habría implicado que el El problema de Busemann-Petty tiene una solución negativa si la dimensión es al menos 4. Sin embargo, Koldobsky (1998a) mostró que un cuerpo en forma de estrella simétrico centralmente es un cuerpo de intersección si y solo si la función 1 / || x || es una distribución definida positiva, donde || x || es la función homogénea de grado 1 que es 1 en el límite del cuerpo, y Koldobsky (1998b) usó esto para mostrar que las bolas unitarias lp
n, 1 < p ≤ ∞ en el espacio n -dimensional con la norma l p son cuerpos de intersección para n = 4 pero no son cuerpos de intersección para n ≥ 5, lo que demuestra que el resultado de Zhang era incorrecto. Zhang (1999) luego mostró que el problema de Busemann-Petty tiene una solución positiva en la dimensión 4. Richard J. Gardner, A. Koldobsky y T. Schlumprecht ( 1999 ) dieron una solución uniforme para todas las dimensiones.
Ver también
Referencias
- Ball, Keith (1988), "Algunas observaciones sobre la geometría de conjuntos convexos", Aspectos geométricos del análisis funcional (1986/87) , Lecture Notes in Math., 1317 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 224– 231, doi : 10.1007 / BFb0081743 , ISBN 978-3-540-19353-1, MR 0950983
- Busemann, Herbert; Petty, Clinton Myers (1956), "Problemas en cuerpos convexos" , Mathematica Scandinavica , 4 : 88–94, doi : 10.7146 / math.scand.a-10457 , ISSN 0025-5521 , MR 0084791 , archivado desde el original en 2011 -08-25
- Gardner, Richard J. (1994), "Una respuesta positiva al problema de Busemann-Petty en tres dimensiones", Annals of Mathematics , Second Series, 140 (2): 435–447, doi : 10.2307 / 2118606 , ISSN 0003-486X , JSTOR 2118606 , MR 1298719
- Gardner, Richard J .; Koldobsky, A .; Schlumprecht, T. (1999), "Una solución analítica al problema de Busemann-Petty en secciones de cuerpos convexos", Annals of Mathematics , Second Series, 149 (2): 691–703, arXiv : math / 9903200 , doi : 10.2307 / 120978 , ISSN 0003-486X , JSTOR 120978 , MR 1689343
- Koldobsky, Alexander (1998a), "Cuerpos de intersección, distribuciones definidas positivas y el problema de Busemann-Petty", American Journal of Mathematics , 120 (4): 827–840, CiteSeerX 10.1.1.610.5349 , doi : 10.1353 / ajm. 1998.0030 , ISSN 0002-9327 , MR 1637955
- Koldobsky, Alexander (1998b), "Cuerpos de intersección en R⁴", Advances in Mathematics , 136 (1): 1-14, doi : 10.1006 / aima.1998.1718 , ISSN 0001-8708 , MR 1623669
- Koldobsky, Alexander (2005), Análisis de Fourier en geometría convexa , Encuestas y monografías matemáticas, 116 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3787-0, MR 2132704
- Larman, DG; Rogers, CA (1975), "La existencia de un cuerpo convexo centralmente simétrico con secciones centrales que son inesperadamente pequeñas", Mathematika. A Journal of Pure and Applied Mathematics , 22 (2): 164-175, doi : 10.1112 / S0025579300006033 , ISSN 0025-5793 , MR 0390914
- Lutwak, Erwin (1988), "Cuerpos de intersección y volúmenes mixtos duales", Advances in Mathematics , 71 (2): 232-261, doi : 10.1016 / 0001-8708 (88) 90077-1 , ISSN 0001-8708 , MR 0963487
- Zhang, Gao Yong (1994), "Cuerpos de intersección y las desigualdades de Busemann-Petty en R⁴", Annals of Mathematics , Second Series, 140 (2): 331–346, doi : 10.2307 / 2118603 , ISSN 0003-486X , JSTOR 2118603 , MR 1298716 , El resultado de este documento es incorrecto; ver la corrección de 1999 del autor.
- Zhang, Gaoyong (1999), "Una solución positiva al problema de Busemann-Petty en R⁴", Annals of Mathematics , Second Series, 149 (2): 535–543, doi : 10.2307 / 120974 , ISSN 0003-486X , JSTOR 120974 , MR 1689339