En matemáticas , el problema de Shephard , es la siguiente pregunta geométrica pedido por Geoffrey Colin Shephard ( 1964 ): Si K y L son centralmente simétricas cuerpos convexos en n - dimensional espacio euclidiano de tal manera que cada vez que K y L se proyectan sobre un hiperplano , el volumen de la proyección de K es menor que el volumen de la proyección de L , entonces se sigue que el volumen de Kes más pequeño que el de L ?
En este caso, significa "centralmente simétricas" que la reflexión de K en el origen, -K , es un traducen de K , y lo mismo para L . Si π k : R n → Π k es una proyección de R n sobre algún hiperplano k -dimensional Π k (no necesariamente un hiperplano coordenado) y V k denota un volumen k -dimensional, el problema de Shephard es determinar la verdad o falsedad del implicación
V k ( π k ( K )) a veces se conoce como el brillo de K y la función V k o π k como una función de brillo ( k -dimensional) .
En las dimensiones n = 1 y 2, la respuesta al problema de Shephard es "sí". En 1967, sin embargo, Petty y Schneider demostraron que la respuesta es "no" para cada n ≥ 3. La solución del problema de Shephard requiere la primera desigualdad de Minkowski para cuerpos convexos y la noción de cuerpos de proyección de cuerpos convexos.
Ver también
Referencias
- Gardner, Richard J. (2002). "La desigualdad de Brunn-Minkowski" . Toro. Amer. Matemáticas. Soc. (NS) . 39 (3): 355–405 (electrónico). doi : 10.1090 / S0273-0979-02-00941-2 .
- Petty, CM (1967). "Cuerpos de proyección". Proc. Coloquio sobre convexidad (Copenhague, 1965) : 234–241.
- Schneider, Rolf (1967). "Zur einem Problem von Shephard über die Projektionen konvexer Körper". Matemáticas. Z. (en alemán). 101 : 71–82. doi : 10.1007 / BF01135693 .
- Shephard, GC (1964), "Sistemas de sombras de conjuntos convexos", Israel Journal of Mathematics , 2 (4): 229-236, doi : 10.1007 / BF02759738 , ISSN 0021-2172 , MR 0179686