Función de Busemann

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En topología geométrica , las funciones de Busemann se utilizan para estudiar la geometría a gran escala de las geodésicas en los espacios de Hadamard y, en particular, las variedades de Hadamard ( variedades riemannianas completas simplemente conectadas de curvatura no positiva). Llevan el nombre de Herbert Busemann , quien los presentó; dio un extenso tratamiento del tema en su libro de 1955 "La geometría de las geodésicas".

Sea un espacio métrico . Un rayo geodésico es un camino que minimiza la distancia en todas partes a lo largo de su longitud. es decir, para todos , ${\ Displaystyle (X, d)}$${\ Displaystyle \ gamma: [0, \ infty) \ a X}$${\ Displaystyle t, t '\ in [0, \ infty)}$

Dado un rayo γ , la función de Busemann está definida por${\ Displaystyle B _ {\ gamma}: X \ to \ mathbb {R}}$

Por tanto, cuando t es muy grande, la distancia es aproximadamente igual a . Dado un rayo γ , su función de Busemann siempre está bien definida: de hecho, el lado derecho F _t ( x ) de arriba tiende en sentido puntual hacia el lado izquierdo en compacta, ya que está limitado arriba por y no es creciente ya que, si ,${\ Displaystyle d {\ big (} \ gamma (t), x {\ big)}}$${\ Displaystyle B _ {\ gamma} (x) + t}$${\ Displaystyle td (\ gamma (t), x) = d (\ gamma (t), \ gamma (0)) - d (\ gamma (t), x)}$${\ Displaystyle d (\ gamma (0), x)}$${\ Displaystyle s \ leq t}$

de modo que sea ​​uniformemente continuo. Más específicamente, la estimación anterior muestra que${\ Displaystyle B _ {\ gamma}}$

Según el teorema de Dini , las funciones tienden a uniformemente en conjuntos compactos cuando t tiende a infinito.${\ Displaystyle F_ {t} (x) = d (x, \ gamma (t)) - t}$${\ Displaystyle B _ {\ gamma} (x)}$

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