En topología , un espacio topológico se llama simplemente conectado (o 1-conectado , o 1-simplemente conectado [1] ) si está conectado a una ruta y cada ruta entre dos puntos se puede transformar continuamente (intuitivamente para espacios incrustados, permaneciendo dentro de la space) en cualquier otra ruta de este tipo conservando los dos puntos finales en cuestión. El grupo fundamental de un espacio topológico es un indicador del fracaso de que el espacio esté simplemente conectado: un espacio topológico conectado por caminos está simplemente conectado si y solo si su grupo fundamental es trivial.
Definición y formulaciones equivalentes
Un espacio topológico X se llama simplemente conectado si está conectado por una ruta y cualquier bucle en X definido por f : S 1 → X puede contraerse a un punto: existe un mapa continuo F : D 2 → X tal que F restringido a S 1 es f . Aquí, S 1 y D 2 denotan el círculo unitario y el disco unitario cerrado en el plano euclidiano, respectivamente.
Una formulación equivalente es la siguiente: X se conecta simplemente si y sólo si es trayectoria-conectado, y siempre que p : [0,1] → X y q : [0,1] → X son dos caminos (es decir: mapas continuos) con el mismo punto inicial y final ( p (0) = q (0) yp (1) = q (1)), entonces p puede deformarse continuamente en q mientras se mantienen fijos ambos puntos finales. Explícitamente, existe una homotopía tal que y .
Un espacio topológico X está simplemente conectado si y solo si X está conectado por una ruta y el grupo fundamental de X en cada punto es trivial, es decir, consiste solo en el elemento de identidad . De manera similar, X simplemente está conectado si y solo si para todos los puntos, el conjunto de morfismos en el grupo fundamental de X tiene un solo elemento. [2]
En análisis complejo : un subconjunto abiertoestá simplemente conectado si y solo si tanto X como su complemento en la esfera de Riemann están conectados. El conjunto de números complejos con una parte imaginaria estrictamente mayor que cero y menor que uno, proporciona un buen ejemplo de un subconjunto ilimitado, conectado y abierto del plano cuyo complemento no está conectado. Sin embargo, está simplemente conectado. También podría valer la pena señalar que una relajación del requisito de que X esté conectado conduce a una exploración interesante de subconjuntos abiertos del plano con complemento extendido conectado. Por ejemplo, un conjunto abierto (no necesariamente conectado) tiene un complemento extendido conectado exactamente cuando cada uno de sus componentes conectados está simplemente conectado.
Discusión informal
De manera informal, un objeto en nuestro espacio está simplemente conectado si consta de una sola pieza y no tiene ningún "agujero" que lo atraviese por completo. Por ejemplo, ni una rosquilla ni una taza de café (con asa) simplemente se conectan, sino que simplemente se conecta una bola de goma hueca. En dos dimensiones, un círculo no está simplemente conectado, sino que un disco y una línea lo están. Los espacios que están conectados pero no simplemente conectados se denominan no simplemente conectados o conectados de forma múltiple .
La definición excluye solo los agujeros con forma de asa . Una esfera (o, de manera equivalente, una pelota de goma con un centro hueco) simplemente se conecta, porque cualquier bucle en la superficie de una esfera puede contraerse hasta un punto aunque tenga un "agujero" en el centro hueco. La condición más fuerte, que el objeto no tiene agujeros de ninguna dimensión, se llama contractibilidad .
Ejemplos de
- El plano euclidiano R 2 está simplemente conectado, pero R 2 menos el origen (0, 0) no lo está. Si n > 2, entonces tanto R n como R n menos el origen están simplemente conectados.
- De manera análoga: la esfera n- dimensional S n simplemente está conectada si y solo si n ≥ 2.
- Cada subconjunto convexo de R n está simplemente conectado.
- Un toro , el cilindro (elíptico) , la tira de Möbius , el plano proyectivo y la botella de Klein no están simplemente conectados.
- Cada espacio vectorial topológico está simplemente conectado; esto incluye los espacios de Banach y los espacios de Hilbert .
- Para n ≥ 2, el grupo ortogonal especial SO ( n , R ) no está simplemente conectado y el grupo unitario especial SU ( n ) simplemente está conectado.
- La compactificación de un punto de R no está simplemente conectada (aunque R simplemente está conectada).
- La línea larga L simplemente está conectada, pero su compactificación, la línea larga extendida L ∗ no lo está (ya que ni siquiera está conectada a una ruta).
Propiedades
Una superficie ( variedad topológica bidimensional ) se conecta simplemente si y solo si está conectada y su género (el número de asas de la superficie) es 0.
Una cobertura universal de cualquier espacio (adecuado) X es un espacio simplemente conectado que se asigna a X a través de un mapa de cobertura .
Si X e Y son equivalentes de homotopía y X simplemente está conectado, entonces Y también lo es .
La imagen de un aparato simplemente conectado bajo una función continua no necesita estar simplemente conectado. Tomemos, por ejemplo, el plano complejo debajo del mapa exponencial: la imagen es C ∖ {0}, que no está simplemente conectada.
La noción de conectividad simple es importante en el análisis complejo debido a los siguientes hechos:
- El teorema de la integral de Cauchy estados que si U es un subconjunto simplemente conectado abierto del plano complejo C , y f : T → C es una función holomorfa , entonces f tiene una antiderivada F en U , y el valor de cada integral de línea en U con El integrando f depende solo de los puntos finales u y v de la trayectoria, y se puede calcular como F ( v ) - F ( u ). Por tanto, la integral no depende del camino particular que conecta u y v .
- El teorema de mapeo de Riemann establece que cualquier subconjunto abierto no vacío simplemente conectado de C (excepto el propio C ) es conformemente equivalente al disco unitario .
La noción de conexión simple también es una condición crucial en la conjetura de Poincaré .
Ver también
- Grupo fundamental - Grupo matemático de las clases de homotopía de bucles en un espacio topológico.
- Retracción de la deformación
- espacio n-conectado
- Conectado a la ruta
- Espacio unicoherente
Referencias
- ^ "espacio n-conectado en nLab" . ncatlab.org . Consultado el 17 de septiembre de 2017 .
- ^ Ronald, Brown (junio de 2006). Topología y Groupoids . Búsqueda académica completa. North Charleston: CreateSpace. ISBN 1419627228. OCLC 712629429 .
- Spanier, Edwin (diciembre de 1994). Topología algebraica . Saltador. ISBN 0-387-94426-5.
- Conway, John (1986). Funciones de una variable compleja I . Saltador. ISBN 0-387-90328-3.
- Bourbaki, Nicolas (2005). Grupos de mentiras y álgebras de mentiras . Saltador. ISBN 3-540-43405-4.
- Gamelin, Theodore (enero de 2001). Análisis complejo . Saltador. ISBN 0-387-95069-9.
- Joshi, Kapli (agosto de 1983). Introducción a la topología general . Editores de la Nueva Era. ISBN 0-85226-444-5.