En matemáticas , un campo CM es un tipo particular de campo numérico , llamado así por una estrecha conexión con la teoría de la multiplicación compleja . Otro nombre utilizado es J-field .
La abreviatura "CM" fue introducida por ( Shimura & Taniyama 1961 ).
Definicion formal
Un campo numérico K es un campo CM si es una extensión cuadrática K / F donde el campo base F es totalmente real pero K es totalmente imaginario . Es decir, cada incrustación de F en yace completamente dentro , pero no hay incrustación de K en.
En otras palabras, hay un subcampo F de K tal que K se genera sobre F por una sola raíz cuadrada de un elemento, digamos β =, de tal manera que el polinomio mínimo de β sobre el campo de números racionales tiene todas sus raíces números complejos no reales. Para este α debe elegirse totalmente negativo , de modo que para cada incrustación σ de en el campo de números reales, σ (α) <0.
Propiedades
Una característica de un campo CM es que la conjugación compleja en induce un automorfismo en el campo que es independiente de su incrustación en . En la notación dada, debe cambiar el signo de β.
Un campo numérico K es un campo CM si y solo si tiene un "defecto de unidades", es decir, si contiene un subcampo F adecuado cuyo grupo de unidades tiene el mismo-Rango como el de K ( Remak 1954 ). De hecho, F es el subcampo totalmente real de K mencionado anteriormente. Esto se sigue del teorema de la unidad de Dirichlet .
Ejemplos de
- El ejemplo más simple y motivador de un campo CM es un campo cuadrático imaginario , para el cual el subcampo totalmente real es solo el campo de los racionales.
- Uno de los ejemplos más importantes de un campo CM es el campo ciclotómico. , que se genera por una enésima raíz de unidad primitiva . Es una extensión cuadrática totalmente imaginaria del campo totalmente real Este último es el campo fijo de conjugación compleja , y se obtiene de ella al unir una raíz cuadrada de
- La unión Q CM de todos los campos CM es similar a un campo CM excepto que tiene un grado infinito. Es una extensión cuadrática de la unión de todos los campos Q R totalmente reales . El grupo Galois absoluto Gal ( Q / Q R ) es generado (como un subgrupo cerrado) por todos los elementos de orden 2 en Gal ( Q / Q ), y Gal ( Q / Q CM ) es un subgrupo del índice 2. El Galois el grupo Gal ( Q CM / Q ) tiene un centro generado por un elemento de orden 2 (conjugación compleja) y el cociente por su centro es el grupo Gal ( Q R / Q ).
- Si V es un complejo variedad abelian de dimensión n , entonces cualquier álgebra abeliano F de endomorfismos de V tiene rango como máximo 2 n sobre Z . Si tiene rango 2 n y V es simple, entonces F es una orden en un campo CM. A la inversa, cualquier campo de CM surge así de alguna variedad abeliana compleja simple, única hasta la isogenia.
- Un ejemplo de un campo totalmente imaginario que no es CM es el campo numérico definido por el polinomio .
Referencias
- Remak, Robert (1954), "Über algebraische Zahlkörper mit schwachem Einheitsdefekt", Compositio Mathematica (en alemán), 12 : 35–80, Zbl 0055.26805
- Shimura, Goro (1971), Introducción a la teoría aritmética de funciones automórficas , Publicaciones de la Sociedad Matemática de Japón, 11 , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press
- Shimura, Goro; Taniyama, Yutaka (1961), Multiplicación compleja de variedades abelianas y sus aplicaciones a la teoría de números , Publicaciones de la Sociedad Matemática de Japón, 6 , Tokio: Sociedad Matemática de Japón, MR 0125113
- Washington, Lawrence C. (1996). Introducción a los campos ciclotómicos (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-94762-0. Zbl 0966.11047 .