Un canal o superficie de canal es una superficie formada como la envoltura de una familia de esferas cuyos centros se encuentran en una curva espacial, su directriz . Si los radios de las esferas generadoras son constantes, la superficie del canal se denomina superficie de tubería . Algunos ejemplos simples son:
- cilindro circular derecho (superficie de la tubería, la directriz es una línea, el eje del cilindro)
- toro (superficie de la tubería, la directriz es un círculo),
- cono circular recto (superficie del canal, la directriz es una línea (el eje), los radios de las esferas no son constantes),
- superficie de revolución (superficie del canal, la directriz es una línea),
Las superficies de los canales juegan un papel esencial en la geometría descriptiva, porque en el caso de una proyección ortográfica, su curva de contorno se puede dibujar como la envolvente de los círculos.
- En el área técnica, las superficies de los canales se pueden utilizar para mezclar superficies suavemente.
Sobre de un lápiz de superficies implícitas
Dado el lápiz de superficies implícitas
- ,
dos superficies vecinas y se cruzan en una curva que cumple las ecuaciones
- y .
Por el limite uno obtiene . La última ecuación es la razón de la siguiente definición.
- Dejar ser un lápiz de 1 parámetro de implícito regular superficiessiendo al menos dos veces diferenciable de forma continua). La superficie definida por las dos ecuaciones
es la envoltura del lápiz de superficies dado. [1]
Superficie del canal
Dejar ser una curva espacial regular y a -función con y . La última condición significa que la curvatura de la curva es menor que la de la esfera correspondiente. El sobre del lápiz de esferas de 1 parámetro.
se llama superficie del canal ysu directriz . Si los radios son constantes, se llama superficie de tubería .
Representación paramétrica de la superficie de un canal.
La condición del sobre
de la superficie del canal arriba es por cualquier valor de la ecuación de un plano, que es ortogonal a la tangente de la directriz. Por tanto, el sobre es una colección de círculos. Esta propiedad es la clave para una representación paramétrica de la superficie del canal. El centro del círculo (para el parámetro) tiene la distancia (ver condición arriba) desde el centro de la esfera correspondiente y su radio es . Por eso
donde los vectores y el vector tangente forman una base ortonormal, es una representación paramétrica de la superficie del canal. [2]
Para se obtiene la representación paramétrica de la superficie de una tubería :
Ejemplos de
- a) La primera imagen muestra la superficie de un canal con
- la hélice como directriz y
- la función de radio .
- La elección para es el siguiente:
- .
- b) Para la segunda imagen, el radio es constante: , es decir, la superficie del canal es una superficie de tubería.
- c) Para la imagen 3., la superficie de la tubería b) tiene el parámetro .
- d) La imagen 4. muestra un nudo de tubería. Su directriz es una curva en un toro.
- e) La imagen 5. muestra un ciclón de Dupin (superficie del canal).
Referencias
- Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952). La geometría y la imaginación (2ª ed.). Chelsea. pag. 219 . ISBN 0-8284-1087-9.