En matemáticas , una superficie implícita es una superficie en el espacio euclidiano definida por una ecuación
Una superficie implícita es el conjunto de ceros de una función de tres variables. Implícitos medios que la ecuación no se resuelve para x o y o z .
La gráfica de una función generalmente se describe mediante una ecuación y se llama representación explícita . La tercera descripción esencial de una superficie es la paramétrica :, donde las coordenadas x , y y z de los puntos de superficie están representadas por tres funciones dependiendo de los parámetros comunes . Generalmente, el cambio de representaciones es simple solo cuando la representación explícita es dado: (implícito), (paramétrico).
Ejemplos :
- avión
- esfera
- toro
- Superficie del género 2: (ver diagrama).
- Superficie de revolución (ver diagrama copa de vino ).
Para un plano, una esfera y un toro existen representaciones paramétricas simples. Esto no es cierto para el cuarto ejemplo.
El teorema de la función implícita describe las condiciones bajo las cuales una ecuaciónpuede ser resuelto (al menos implícitamente) para x , y o z . Pero, en general, la solución puede no ser explícita. Este teorema es la clave para el cálculo de las características geométricas esenciales de una superficie: planos tangentes , normales de superficie , curvaturas (ver más abajo). Pero tienen un inconveniente fundamental: su visualización es difícil.
Si es polinomio en x , y y z , la superficie se llama algebraica . El ejemplo 5 no es algebraico.
A pesar de la dificultad de visualización, las superficies implícitas proporcionan técnicas relativamente simples para generar superficies interesantes teóricamente (por ejemplo, superficie Steiner ) y prácticamente (ver más abajo).
Fórmulas
A lo largo de las siguientes consideraciones, la superficie implícita está representada por una ecuación donde funcion cumple las condiciones necesarias de diferenciabilidad. Las derivadas parciales de están .
Plano tangente y vector normal
Un punto de superficie se llama regular si y solo si el gradiente de a no es el vector cero , significado
- .
Si el punto de la superficie no es regular, se llama singular .
La ecuación del plano tangente en un punto regular. es
y un vector normal es
Curvatura normal
Para mantener la fórmula simple, los argumentos se omiten:
es la curvatura normal de la superficie en un punto regular para la unidad de dirección tangente . es la matriz de Hesse de (matriz de las segundas derivadas).
La prueba de esta fórmula se basa (como en el caso de una curva implícita) en el teorema de la función implícita y la fórmula para la curvatura normal de una superficie paramétrica .
Aplicaciones de superficies implícitas
Como en el caso de las curvas implícitas, es una tarea fácil generar superficies implícitas con las formas deseadas aplicando operaciones algebraicas (suma, multiplicación) en primitivas simples.
Superficie equipotencial de cargas puntuales
El potencial eléctrico de una carga puntual en el punto genera en el punto el potencial (omitiendo constantes físicas)
La superficie equipotencial para el valor potencial es la superficie implícita que es una esfera con centro en el punto .
El potencial de las cargas puntuales están representadas por
Para la imagen, las cuatro cargas son iguales a 1 y están ubicadas en los puntos . La superficie mostrada es la superficie equipotencial (superficie implícita).
Superficie del producto a distancia constante
Un óvalo de Cassini se puede definir como el conjunto de puntos para el cual el producto de las distancias a dos puntos dados es constante (en contraste, para una elipse, la suma es constante). De manera similar, las superficies implícitas pueden definirse mediante un producto de distancia constante a varios puntos fijos.
En el diagrama de metamorfosis, la superficie superior izquierda se genera mediante esta regla: Con
la superficie del producto de distancia constante se visualiza.
Metamorfosis de superficies implícitas
Otro método simple para generar nuevas superficies implícitas se llama metamorfosis de superficies implícitas:
Para dos superficies implícitas (en el diagrama: una superficie de producto de distancia constante y un toro) se definen nuevas superficies utilizando el parámetro de diseño :
En el diagrama, el parámetro de diseño es sucesivamente .
Aproximaciones suaves de varias superficies implícitas
-superficies [1] se pueden utilizar para aproximar cualquier objeto liso y delimitado encuya superficie está definida por un solo polinomio como producto de polinomios subsidiarios. En otras palabras, podemos diseñar cualquier objeto liso con una sola superficie algebraica. Denotemos los polinomios definitorios como. Entonces, el objeto aproximado está definido por el polinomio
dónde representa el parámetro de fusión que controla el error de aproximación.
De manera análoga a la aproximación suave con curvas implícitas, la ecuación
representa para los parámetros adecuados Aproximaciones suaves de tres toros que se cruzan con ecuaciones
(En el diagrama los parámetros son )
Visualización de superficies implícitas
Hay varios algoritmos para renderizar superficies implícitas, [2] incluido el algoritmo de cubos de marcha . [3] Básicamente, hay dos ideas para visualizar una superficie implícita: una genera una red de polígonos que se visualiza (ver triangulación de superficie ) y la segunda se basa en el trazado de rayos que determina los puntos de intersección de los rayos con la superficie. [4] Los puntos de intersección se pueden aproximar mediante el trazado de esferas , utilizando una función de distancia con signo para encontrar la distancia a la superficie. [5]
Ver también
Referencias
- ↑ a b Adriano N. Raposo; Abel JP Gomes (2019). "Pi-superficies: productos de superficies implícitas hacia la composición constructiva de objetos 3D". WSCG 2019 27. Conferencia internacional en Europa Central sobre gráficos por computadora, visualización y visión por computadora. arXiv : 1906.06751 .
- ^ Jules Bloomenthal; Chandrajit Bajaj; Brian Wyvill (15 de agosto de 1997). Introducción a las superficies implícitas . Morgan Kaufmann. ISBN 978-1-55860-233-5.
- ^ Ian Stephenson (1 de diciembre de 2004). Renderizado de producción: diseño e implementación . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-85233-821-3.
- ^ Eric Haines, Tomas Akenine-Moller: Ray Tracing Gems , Springer, 2019, ISBN 978-1-4842-4427-2
- ^ Hardy, Alexandre; Steeb, Willi-Hans (2008). Herramientas matemáticas en infografía con implementaciones de C # . World Scientific. ISBN 978-981-279-102-3.
Otras lecturas
- Gomes, A., Voiculescu, I., Jorge, J., Wyvill, B., Galbraith, C .: Curvas y superficies implícitas: matemáticas, estructuras de datos y algoritmos , 2009, Springer-Verlag London, ISBN 978-1-84882-405-8
- Thorpe: Temas elementales en geometría diferencial , Springer-Verlag, Nueva York, 1979, ISBN 0-387-90357-7
enlaces externos
- Sultanow: Implizite Flächen
- Hartmann: geometría y algoritmos para el DISEÑO ASISTIDO POR COMPUTADORA
- GEOMVIEW
- K3Dsurf: generador de superficies 3d
- SURF: Visualisierung algebraischer Flächen