Una onda capilar es una onda que viaja a lo largo del límite de fase de un fluido, cuya dinámica y velocidad de fase están dominadas por los efectos de la tensión superficial .
Las ondas capilares son comunes en la naturaleza y, a menudo, se las conoce como ondas . La longitud de onda de las ondas capilares en el agua suele ser inferior a unos pocos centímetros, con una velocidad de fase superior a 0,2 a 0,3 metros / segundo.
Una longitud de onda más larga en una interfaz de fluido dará como resultado ondas capilares de gravedad que están influenciadas tanto por los efectos de la tensión superficial y la gravedad , como por la inercia del fluido . Las ondas de gravedad ordinarias tienen una longitud de onda aún mayor.
Cuando se generan por el viento ligero en aguas abiertas, un nombre náutico para ellos es ondas de pata de gato . Las brisas ligeras que provocan ondas tan pequeñas también se denominan a veces patas de gato. En el océano abierto, las olas de la superficie del océano mucho más grandes ( mares y oleajes ) pueden resultar de la coalescencia de ondas onduladas más pequeñas causadas por el viento.
Relación de dispersión
La relación de dispersión describe la relación entre la longitud de onda y la frecuencia en ondas. Se puede distinguir entre ondas capilares puras, totalmente dominadas por los efectos de la tensión superficial, y ondas capilares de gravedad, que también se ven afectadas por la gravedad.
Ondas capilares, adecuadas
La relación de dispersión para ondas capilares es
dónde es la frecuencia angular ,la tensión superficial ,la densidad del fluido más pesado, la densidad del líquido para encendedor y el número de onda . La longitud de onda es Para el límite entre fluido y vacío (superficie libre), la relación de dispersión se reduce a
Ondas capilares de gravedad
En general, las ondas también se ven afectadas por la gravedad y luego se denominan ondas capilares de gravedad. Su relación de dispersión se lee, para ondas en la interfaz entre dos fluidos de profundidad infinita: [1] [2]
dónde es la aceleración debida a la gravedad , y son la densidad de masa de los dos fluidos. El factoren el primer término está el número de Atwood .
Régimen de ondas de gravedad
Para longitudes de onda grandes (pequeñas ), solo el primer término es relevante y uno tiene ondas de gravedad . En este límite, las ondas tienen una velocidad de grupo que es la mitad de la velocidad de fase : siguiendo la cresta de una sola onda en un grupo se puede ver que la onda aparece en la parte posterior del grupo, crece y finalmente desaparece al frente del grupo.
Régimen de ondas capilares
Más corto (grande ) ondas (por ejemplo, 2 mm para la interfaz agua-aire), que son ondas capilares adecuadas, hacen lo contrario: una onda individual aparece al frente del grupo, crece cuando se mueve hacia el centro del grupo y finalmente desaparece en la parte posterior del grupo. grupo. La velocidad de fase es dos tercios de la velocidad del grupo en este límite.
Mínimo de velocidad de fase
Entre estos dos límites hay un punto en el que la dispersión causada por la gravedad anula la dispersión debida al efecto capilar. A cierta longitud de onda, la velocidad del grupo es igual a la velocidad de fase y no hay dispersión. Precisamente en esta misma longitud de onda, la velocidad de fase de las ondas capilares de gravedad en función de la longitud de onda (o número de onda) tiene un mínimo. Ondas con longitudes de onda mucho más pequeñas que esta longitud de onda críticaestán dominados por la tensión superficial y mucho más por la gravedad. El valor de esta longitud de onda y la velocidad de fase mínima asociadason: [1]
Para la interfaz aire - agua , se encuentra que es de 1,7 cm (0,67 pulgadas), y es de 0,23 m / s (0,75 pies / s). [1]
Si se deja caer una pequeña piedra o una gota en un líquido, las ondas se propagan fuera de un círculo expansivo de fluido en reposo; este círculo es un cáustico que corresponde a la velocidad mínima del grupo. [3]
Derivación
Como dijo Richard Feynman , " [las ondas de agua] que son fácilmente vistas por todos y que generalmente se usan como ejemplo de olas en cursos elementales [...] son el peor ejemplo posible [...]; tienen todas las complicaciones que pueden tener las ondas " . [4] Por tanto, la derivación de la relación de dispersión general es bastante complicada. [5]
Hay tres contribuciones a la energía, debido a la gravedad, a la tensión superficial y a la hidrodinámica . Las dos primeras son energías potenciales y responsables de los dos términos dentro del paréntesis, como se desprende de la aparición de y . Para la gravedad, se asume que la densidad de los fluidos es constante (es decir, incompresibilidad), y de la misma manera(las ondas no son lo suficientemente altas como para que la gravitación cambie de manera apreciable). Para la tensión superficial, se supone que las desviaciones de la planaridad (medidas por derivadas de la superficie) son pequeñas. Para ondas comunes, ambas aproximaciones son suficientemente buenas.
La tercera contribución involucra las energías cinéticas de los fluidos. Es el más complicado y requiere un marco hidrodinámico . La incompresibilidad está nuevamente involucrada (que se satisface si la velocidad de las ondas es mucho menor que la velocidad del sonido en los medios), junto con el flujo que es irrotante : el flujo es entonces potencial . Por lo general, también son buenas aproximaciones para situaciones comunes.
La ecuación resultante para el potencial (que es la ecuación de Laplace ) se puede resolver con las condiciones de contorno adecuadas. Por un lado, la velocidad debe desaparecer muy por debajo de la superficie (en el caso de "aguas profundas", que es el que consideramos, de lo contrario se obtiene un resultado más complicado, ver Olas superficiales del océano ). Por otro lado, su componente vertical debe coincidir con el movimiento de la superficie. Esta aportación acaba siendo responsable del extrafuera del paréntesis, lo que hace que todos los regímenes sean dispersivos, tanto en valores bajos de, y altos (excepto alrededor del valor único en el que se cancelan las dos dispersiones).
Relación de dispersión para ondas capilares-gravedad en una interfaz entre dos dominios de fluidos semi-infinitos |
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Considere dos dominios de fluidos, separados por una interfaz con tensión superficial. La posición media de la interfaz es horizontal. Separa el fluido superior del inferior, ambos con una densidad de masa constante diferente, y para el dominio inferior y superior respectivamente. Se asume que el fluido es invisible e incompresible , y se asume que el flujo es irrotacional . Entonces los flujos son potenciales y la velocidad en la capa superior e inferior se puede obtener de y , respectivamente. Aquí y son potenciales de velocidad . Están involucradas tres contribuciones a la energía: la energía potencial debido a la gravedad , la energía potencialdebido a la tensión superficial y la energía cinética del flujo. La parte debido a la gravedad es el más simple: integrar la densidad de energía potencial debido a la gravedad, (o ) desde una altura de referencia hasta la posición de la superficie, : [6] asumiendo que la posición media de la interfaz está en . Un aumento en el área de la superficie provoca un aumento proporcional de energía debido a la tensión superficial: [7] donde la primera igualdad es el área en esta representación (de Monge ), y la segunda se aplica para valores pequeños de las derivadas (superficies no demasiado rugosas). La última contribución involucra la energía cinética del fluido: [8] Se hace uso de que el fluido es incompresible y su flujo es irrotacional (a menudo, aproximaciones sensibles). Como resultado, ambos y debe satisfacer la ecuación de Laplace : [9]
Estas ecuaciones se pueden resolver con las condiciones de contorno adecuadas: y debe desaparecer bastante lejos de la superficie (en el caso de "aguas profundas", que es el que consideramos). Usando la identidad de Green , y asumiendo que las desviaciones de la elevación de la superficie son pequeñas (por lo que las integraciones z pueden aproximarse integrando hasta en vez de ), la energía cinética se puede escribir como: [8] Para encontrar la relación de dispersión, es suficiente considerar una onda sinusoidal en la interfaz, propagándose en la dirección x : [7] con amplitud y fase de onda . La condición de frontera cinemática en la interfaz, que relaciona los potenciales con el movimiento de la interfaz, es que los componentes de la velocidad vertical deben coincidir con el movimiento de la superficie: [7]
Para abordar el problema de encontrar los potenciales, se puede intentar la separación de variables , cuando ambos campos se pueden expresar como: [7] Luego, las contribuciones a la energía de las olas, integradas horizontalmente en una longitud de onda en la dirección x , y sobre una unidad de ancho en la dirección y , se convierte en: [7] [10] La relación de dispersión ahora se puede obtener del Lagrangiano , con la suma de las energías potenciales por gravedad y tensión superficial : [11] Para las ondas sinusoidales y la teoría de ondas lineales, el Lagrangiano promediado por fase siempre tiene la forma, de modo que la variación con respecto al único parámetro libre, , da la relación de dispersión . [11] En nuestro caso es solo la expresión entre corchetes, por lo que la relación de dispersión es: lo mismo de arriba. Como resultado, la energía de las olas promedio por unidad de área horizontal, , es: Como es habitual para los movimientos de ondas lineales, la energía potencial y cinética son iguales (se mantiene la equipartición ):. [12] |
Ver también
- Acción capilar
- Dispersión (ondas de agua)
- Tubo de fluido
- Ola de la superficie del océano
- Onda capilar térmica
- Flujo de dos fases
- Ondulación en forma de onda
Galería
Ondas en el agua creadas por zancudos
Ondas de brisa ligera en el agua superficial de un lago
Notas
- ↑ a b c Lamb (1994), §267, página 458–460.
- ^ Dingemans (1997), sección 2.1.1, p. 45.
Phillips (1977), sección 3.2, pág. 37. - ^ Falkovich, G. (2011). Mecánica de fluidos, un curso corto para físicos . Prensa de la Universidad de Cambridge. Sección 3.1 y Ejercicio 3.3. ISBN 978-1-107-00575-4.
- ^ RP Feynman , RB Leighton y M. Sands (1963). Las Conferencias Feynman de Física . Addison-Wesley. Volumen I, Capítulo 51-4.
- ^ Ver, por ejemplo, Safran (1994) para una descripción más detallada.
- ^ Cordero (1994), §174 y §230.
- ^ a b c d e Cordero (1994), §266.
- ↑ a b Lamb (1994), §61.
- ^ Cordero (1994), §20
- ^ Cordero (1994), §230.
- ^ a b Whitham, GB (1974). Ondas lineales y no lineales . Wiley-Interscience. ISBN 0-471-94090-9. Consulte la sección 11.7.
- ^ Lord Rayleigh (JW Strutt) (1877). "Sobre ondas progresivas" . Actas de la London Mathematical Society . 9 : 21-26. doi : 10.1112 / plms / s1-9.1.21 .Reimpreso como Apéndice en: Theory of Sound 1 , MacMillan, 2a edición revisada, 1894.
Referencias
- Longuet-Higgins, MS (1963). "La generación de ondas capilares por ondas de gravedad abruptas". Revista de Mecánica de Fluidos . 16 (1): 138-159. Código bibliográfico : 1963JFM .... 16..138L . doi : 10.1017 / S0022112063000641 . ISSN 1469-7645 .
- Cordero, H. (1994). Hidrodinámica (6ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-45868-9.
- Phillips, OM (1977). La dinámica del océano superior (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-29801-6.
- Dingemans, MW (1997). Propagación de ondas de agua sobre fondos irregulares . Serie avanzada sobre ingeniería oceánica. 13 . World Scientific, Singapur. pp. 2 Partes, 967 páginas. ISBN 981-02-0427-2.
- Safran, Samuel (1994). Termodinámica estadística de superficies, interfaces y membranas . Addison-Wesley.
- Tufillaro, NB; Ramshankar, R .; Gollub, JP (1989). "Transición de orden-desorden en ondas capilares" . Cartas de revisión física . 62 (4): 422–425. Código Bibliográfico : 1989PhRvL..62..422T . doi : 10.1103 / PhysRevLett.62.422 . PMID 10040229 .
enlaces externos
- Entrada de ondas capilares en sklogwiki