grupo carnot

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En matemáticas , un grupo de Carnot es un grupo de Lie nilpotente simplemente conectado , junto con una derivación de su álgebra de Lie tal que el subespacio con valor propio 1 genera el álgebra de Lie. El subpaquete del paquete tangente asociado a este espacio propio se llama horizontal. En un grupo de Carnot, cualquier norma en el subhaz horizontal da lugar a una métrica de Carnot-Carathéodory . Las métricas de Carnot-Carathéodory tienen dilataciones métricas; son conos asintóticos (ver Ultralimit ) de grupos nilpotentes finitamente generados y de grupos de Lie nilpotentes, así como conos tangentes de variedades subriemannianas .

Un grupo de Carnot (o estratificado) de escalones es un grupo de Lie de dimensión finita conexo, simplemente conexo, cuyo álgebra de Lie admite una estratificación escalonada. Es decir, existen subespacios lineales no triviales tales que ${\ estilo de visualización k}$${\displaystyle {\mathfrak{g}}}$${\ estilo de visualización k}$${\displaystyle V_{1},\cdots,V_{k}}$

Tenga en cuenta que esta definición implica que el primer estrato genera todo el álgebra de Lie .${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle {\mathfrak{g}}}$

El mapa exponencial es un difeomorfismo de sobre . Usando estas coordenadas exponenciales, podemos identificar con , donde y la operación viene dada por la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff .${\displaystyle {\mathfrak{g}}}$${\ estilo de visualización G}$${\ estilo de visualización G}$${\ estilo de visualización (\ mathbb {R} ^ {n}, \ estrella)}$${\displaystyle n=\dim V_{1}+\cdots +\dim V_{k}}$${\ estilo de visualización \ estrella}$

A veces es más conveniente escribir un elemento como${\ estilo de visualización z \ en G}$

La razón es que tiene una operación de dilatación intrínseca dada por${\ estilo de visualización G}$${\ estilo de visualización \ delta _ {\ lambda}: G \ a G}$

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