- Para conocer el límite directo de una secuencia de ultrapoderes, consulte Ultraproducto .
En matemáticas , un ultralímite es una construcción geométrica que asigna a una secuencia de espacios métricos X n un espacio métrico limitante. La noción de ultralímite captura el comportamiento limitante de las configuraciones finitas en los espacios X ny utiliza un ultrafiltro para evitar el proceso de pasar repetidamente a subsecuencias para asegurar la convergencia. Un ultralímite es una generalización de la noción de convergencia de espacios métricos de Gromov-Hausdorff .
Ultrafiltros
Un ultrafiltro ω en el conjunto de números naturales ℕ es un conjunto de subconjuntos no vacíos de ℕ (cuya función de inclusión puede considerarse una medida) que está cerrado bajo una intersección finita, cerrado hacia arriba, y que, dado cualquier subconjunto X de ℕ , contiene o bien X o ℕ ∖ X . Un ultrafiltro ω sobre ℕ no es principal si no contiene un conjunto finito.
Límite de una secuencia de puntos con respecto a un ultrafiltro
Sea ω un ultrafiltro no principal en. Sies una secuencia de puntos en un espacio métrico ( X , d ) y x ∈ X , el punto x se llama ω - límite de x n , denotado, si por cada tenemos:
No es difícil ver lo siguiente:
- Si existe un límite ω de una secuencia de puntos, es único.
- Si en el sentido estándar, . (Para que esta propiedad se mantenga, es crucial que el ultrafiltro no sea principal).
Un hecho básico importante [1] establece que, si ( X , d ) es compacto y ω es un ultrafiltro no principal en, el límite ω de cualquier secuencia de puntos en X existe (y es necesariamente único).
En particular, cualquier secuencia acotada de números reales tiene un límite ω bien definido en (ya que los intervalos cerrados son compactos).
Ultralímite de espacios métricos con puntos base especificados
Sea ω un ultrafiltro no principal en. Sea ( X n , d n ) una secuencia de espacios métricos con puntos base especificados p n ∈ X n .
Digamos que una secuencia , donde x n ∈ X n , es admisible , si la secuencia de números reales ( d n ( x n , p n )) n está acotada, es decir, si existe un número real positivo C tal que. Denotemos el conjunto de todas las secuencias admisibles por.
Es fácil ver en la desigualdad del triángulo que para dos secuencias admisibles cualesquiera y la secuencia ( d n ( x n , y n )) n está acotada y, por lo tanto, existe un límite ω. Definamos una relación En el set de todas las secuencias admisibles de la siguiente manera. Para tenemos cuando sea Es fácil demostrar que es una relación de equivalencia en
El ultralímite con respecto a ω de la secuencia ( X n , d n , p n ) es un espacio métricodefinido como sigue. [2]
Como conjunto, tenemos .
Para dos -clases de equivalencia de secuencias admisibles y tenemos
No es dificil ver eso está bien definido y que es una métrica en el conjunto.
Denotar .
En puntos de base en el caso de espacios delimitados uniformemente
Suponga que ( X n , d n ) es una secuencia de espacios métricos de diámetro uniformemente acotado, es decir, existe un número real C > 0 tal que diam ( X n ) ≤ C para cada. Entonces, para cualquier elección p n de puntos base en X n cada secuenciaes admisible. Por lo tanto, en esta situación, no es necesario especificar la elección de los puntos base al definir un ultralímite, y el ultralímitedepende solo de ( X n , d n ) y de ω pero no depende de la elección de una secuencia de puntos base. En este caso uno escribe.
Propiedades básicas de los ultralímites
- Si ( X n , d n ) son espacios métricos geodésicos, entoncestambién es un espacio métrico geodésico. [1]
- Si ( X n , d n ) son espacios métricos completos, entoncestambién es un espacio métrico completo. [3] [4]
En realidad, por construcción, el espacio límite siempre está completo, incluso cuando ( X n , d n ) es una secuencia repetida de un espacio ( X , d ) que no está completo. [5]
- Si ( X n , d n ) son espacios métricos compactos que convergen a un espacio métrico compacto ( X , d ) en el sentido de Gromov-Hausdorff (esto implica automáticamente que los espacios ( X n , d n ) tienen un diámetro acotado uniformemente), luego el ultralímitees isométrica a ( X , d ).
- Suponga que ( X n , d n ) son espacios métricos propios y queson puntos de base tales que la secuencia puntiaguda ( X n , d n , p n ) converge a un espacio métrico propio ( X , d ) en el sentido de Gromov-Hausdorff . Entonces el ultralímitees isométrica a ( X , d ). [1]
- Sea κ ≤0 y sea ( X n , d n ) una secuencia de espacios métricos CAT ( κ ) . Entonces el ultralímitetambién es un espacio CAT ( κ ). [1]
- Sea ( X n , d n ) una secuencia de espacios métricos CAT ( κ n ) donde Entonces el ultralímite es un árbol real . [1]
Conos asintóticos
Una clase importante de ultralímites son los llamados conos asintóticos de espacios métricos. Sea ( X , d ) un espacio métrico, sea ω un ultrafiltro no principal eny sea p n ∈ X una secuencia de puntos base. Entonces el ω –ultralímite de la secuenciase llama cono asintótico de X con respecto a ω y y se denota . A menudo se considera que la secuencia de puntos base es constante, p n = p para algún p ∈ X ; en este caso el cono asintótico no depende de la elección de p ∈ X y se denota por o solo .
La noción de un cono asintótico juega un papel importante en la teoría de grupos geométricos, ya que los conos asintóticos (o, más precisamente, sus tipos topológicos y tipos bi-Lipschitz ) proporcionan invariantes cuasi-isométricas de espacios métricos en general y de grupos generados finitamente en particular. [6] Los conos asintóticos también resultan ser una herramienta útil en el estudio de grupos relativamente hiperbólicos y sus generalizaciones. [7]
Ejemplos de
- Sea ( X , d ) un espacio métrico compacto y ponga ( X n , d n ) = ( X , d ) para cada. Entonces el ultralímitees isométrica a ( X , d ).
- Sea ( X , d X ) e ( Y , d Y ) dos espacios métricos compactos distintos y sea ( X n , d n ) una secuencia de espacios métricos tal que para cada n ( X n , d n ) = ( X , d X ) o ( X n , d n ) = ( Y , d Y ). Dejar y . Por tanto, A 1 , A 2 son disjuntos yPor lo tanto, uno de A 1 , A 2 tiene ω -medida 1 y el otro tiene ω -medida 0. Por lo tantoes isométrica a ( X , d X ) si ω ( A 1 ) = 1 yes isométrica a ( Y , d Y ) si ω ( A 2 ) = 1. Esto muestra que el ultralímite puede depender de la elección de un ultrafiltro ω .
- Sea ( M , g ) un conectado compacto variedad de Riemann de dimensión m , donde g es una métrica de Riemann en M . Sea d la métrica de M correspondiente ag , de modo que ( M , d ) es un espacio métrico geodésico . Elegir un punto base p ∈ M . Luego, el ultralímite (e incluso el límite ordinario de Gromov-Hausdorff )es isométrica al espacio tangente T p M de M en p con la función de distancia en T p M dada por el producto interno g (p) . Por lo tanto, el ultralímitees isométrica al espacio euclidiano con la métrica euclidiana estándar . [8]
- Dejar ser el espacio euclidiano estándar m -dimensional con la métrica euclidiana estándar. Entonces el cono asintótico es isométrico a .
- Dejar ser el enrejado entero bidimensional donde la distancia entre dos puntos del enrejado viene dada por la longitud del camino de borde más corto entre ellos en la cuadrícula. Entonces el cono asintótico es isométrico a dónde es la métrica del taxi (o métrica L 1 ) en.
- Sea ( X , d ) un espacio métrico geodésico hiperbólico δ para algún δ ≥0. Entonces el cono asintóticoes un árbol real . [1] [9]
- Sea ( X , d ) un espacio métrico de diámetro finito. Entonces el cono asintótico es un solo punto.
- Sea ( X , d ) un espacio métrico CAT (0) . Entonces el cono asintóticotambién es un espacio CAT (0). [1]
Notas al pie
- ^ a b c d e f g M. Kapovich B. Leeb. Sobre conos asintóticos y clases de cuasi-isometría de grupos fundamentales de 3 variedades , análisis geométrico y funcional , vol. 5 (1995), núm. 3, págs. 582–603
- ^ John Roe. Conferencias sobre geometría gruesa. Sociedad Americana de Matemáticas , 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2 ; Definición 7.19, pág. 107.
- ^ L.Van den Dries, AJWilkie, Sobre el teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinómico y lógica elemental . Journal of Algebra , vol. 89 (1984), págs. 349-374.
- ^ John Roe. Conferencias sobre geometría gruesa. Sociedad Americana de Matemáticas , 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2 ; Proposición 7.20, pág. 108.
- ^ Bridson, Haefliger "Espacios métricos de curvatura no positiva" Lema 5.53
- ^ John Roe. Conferencias sobre geometría gruesa. Sociedad Americana de Matemáticas , 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2
- ↑ Cornelia Druţu y Mark Sapir (con un apéndice de Denis Osin y Mark Sapir), espacios escalonados por árboles y conos asintóticos de grupos. Topología , Volumen 44 (2005), no. 5, págs. 959-1058.
- ^ Yu. Burago, M. Gromov y G. Perel'man. AD Aleksandrov espacios con curvaturas delimitadas debajo (en ruso), Uspekhi Matematicheskih Nauk vol. 47 (1992), págs. 3–51; traducido al: Russian Math. Encuestas vol. 47, no. 2 (1992), págs. 1-58
- ^ John Roe. Conferencias sobre geometría gruesa. Sociedad Americana de Matemáticas , 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2 ; Ejemplo 7.30, p. 118.
Referencias básicas
- John Roe. Conferencias sobre geometría gruesa. Sociedad Americana de Matemáticas , 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2 ; Ch. 7.
- L.Van den Dries, AJWilkie, Sobre el teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinomial y lógica elemental . Journal of Algebra , vol. 89 (1984), págs. 349-374.
- M. Kapovich B. Leeb. Sobre conos asintóticos y clases de cuasi-isometría de grupos fundamentales de 3 variedades , análisis geométrico y funcional , vol. 5 (1995), núm. 3, págs. 582–603
- M. Kapovich. Colectores hiperbólicos y grupos discretos. Birkhäuser, 2000. ISBN 978-0-8176-3904-4 ; Ch. 9.
- Cornelia Druţu y Mark Sapir (con un apéndice de Denis Osin y Mark Sapir), espacios escalonados de árboles y conos asintóticos de grupos. Topología , Volumen 44 (2005), no. 5, págs. 959-1058.
- M. Gromov. Estructuras métricas para espacios riemannianos y no riemannianos. Progreso en Matemáticas vol. 152, Birkhäuser, 1999. ISBN 0-8176-3898-9 ; Ch. 3.
- B. Kleiner y B. Leeb, Rigidez de cuasi-isometrías para espacios simétricos y edificios euclidianos. Publicaciones Mathématiques de L'IHÉS . Volumen 86, Número 1, diciembre de 1997, págs. 115–197.
Ver también
- Ultrafiltro
- Teoría de grupos geométricos
- Convergencia Gromov-Hausdorff