En la topología de 4 dimensiones, una rama de las matemáticas, una manija de Casson es una 2 manija topológica de 4 dimensiones construida por un procedimiento infinito. Llevan el nombre de Andrew Casson , quien los introdujo alrededor de 1973. Originalmente, el propio Casson los llamó "mangos flexibles", y Michael Freedman ( 1982 ) introdujo el nombre "mango Casson" por el que se les conoce en la actualidad. En ese trabajo demostró que los mangos de Casson son 2 manijas topológicas, y usó esto para clasificar 4 manijas topológicas compactas simplemente conectadas .
Motivación
En la demostración del teorema de h-cobordismo , se utiliza la siguiente construcción. Dado un círculo en el límite de una variedad, a menudo nos gustaría encontrar un disco incrustado en la variedad cuyo límite es el círculo dado. Si el colector está simplemente conectado, entonces podemos encontrar un mapa desde un disco al colector con el límite del círculo dado, y si el colector tiene una dimensión de al menos 5, al poner este disco en " posición general " se convierte en una incrustación. El número 5 aparece por la siguiente razón: subvariedades de dimensión m y n en posición general no proporcionan intersecan la dimensión del colector que contiene ellos tiene una mayor dimensión de. En particular, un disco (de dimensión 2) en posición general no tendrá intersecciones propias dentro de un colector de dimensión mayor que 2 + 2.
Si el colector es de 4 dimensiones, esto no funciona: el problema es que un disco en posición general puede tener puntos dobles donde dos puntos del disco tienen la misma imagen. Ésta es la razón principal por la que la demostración habitual del teorema de h-cobordismo solo funciona para los cobordismos cuyo límite tiene una dimensión de al menos 5. Podemos intentar deshacernos de estos puntos dobles de la siguiente manera. Dibuja una línea en el disco que une dos puntos con la misma imagen. Si la imagen de esta línea es el límite de un disco incrustado (llamado disco de Whitney ), entonces es fácil quitar el punto doble. Sin embargo, este argumento parece estar dando vueltas en círculos: para eliminar un doble punto del primer disco, necesitamos construir un segundo disco incrustado, cuya construcción implica exactamente el mismo problema de eliminar los puntos dobles.
La idea de Casson era iterar esta construcción un número infinito de veces, con la esperanza de que los problemas sobre los puntos dobles desaparecieran de alguna manera en el límite infinito.
Construcción
Un mango Casson tiene un esqueleto bidimensional, que se puede construir de la siguiente manera.
- Comience con un disco de 2 .
- Identifica un número finito de pares de puntos en el disco.
- Para cada par de puntos identificados, elija una ruta en el disco que une estos puntos y construya un nuevo disco con el límite de esta ruta. (Entonces agregamos un disco por cada par de puntos identificados).
- Repita los pasos 2 a 3 en cada disco nuevo.
Podemos representar estos esqueletos mediante árboles enraizados de manera que cada punto esté unido a un número finito de otros puntos: el árbol tiene un punto para cada disco y una línea que une puntos si los discos correspondientes se cruzan en el esqueleto.
Un mango Casson se construye "engrosando" la construcción bidimensional de arriba para dar un objeto de 4 dimensiones: reemplazamos cada disco por una copia de . De manera informal, podemos pensar en esto como tomar un pequeño vecindario del esqueleto (que se cree que está incrustado en algún 4-múltiple). Hay algunas sutilezas adicionales al hacer esto: necesitamos realizar un seguimiento de algunos marcos, y los puntos de intersección ahora tienen una orientación.
Los identificadores de Casson corresponden a árboles enraizados como arriba, excepto que ahora cada vértice tiene un signo adjunto para indicar la orientación del punto doble. También podemos suponer que el árbol no tiene ramas finitas, ya que las ramas finitas se pueden "desenredar", así que no hay diferencia.
El mango de Casson exótico más simple corresponde al árbol que es solo una línea de puntos medio infinita (con todos los signos iguales). Es difeomorfocon un cono sobre el continuo de Whitehead eliminado. Hay una descripción similar de los controles Casson más complicados, con el continuo Whitehead reemplazado por un conjunto similar pero más complicado.
Estructura
El teorema principal de Freedman sobre Casson maneja afirma que todos son homeomórficos para ; o en otras palabras, son 2 asas topológicas. En general no son difeomorfos acomo se desprende del teorema de Donaldson , y hay un número infinito incontable de diferentes tipos de difeomorfismos de identificadores de Casson. Sin embargo, el interior de un mango Casson es difeomorfo para; Las manijas Casson se diferencian de las 2 manijas estándar solo en la forma en que el límite está unido al interior.
El teorema de estructura de Freedman se puede utilizar para probar el teorema de h-cobordismo para cobordismos topológicos de 5 dimensiones, que a su vez implica la conjetura de Poincaré topológica de 4 dimensiones .
Referencias
- Gompf, Robert (2001) [1994], "Mango de Casson" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Casson, Andrew (1986), "Tres conferencias sobre nuevas construcciones infinitas en variedades de 4 dimensiones", À la recherche de la topologie perdue , Progress in Mathematics, 62 , Boston, MA: Birkhäuser Boston, pp. 201–244, ISBN 0-8176-3329-4, MR 0900253
- Freedman, Michael Hartley (1982), "La topología de las variedades de cuatro dimensiones" , Journal of Differential Geometry , 17 (3): 357–453, doi : 10.4310 / jdg / 1214437136 , MR 0679066
- Kirby, Robion C. (1989), The topology of 4-manifolds , Lecture Notes in Mathematics, 1374 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0089031 , ISBN 978-3-540-51148-9, MR 1001966
- Scorpan, Alexandru (2005). El salvaje mundo de las 4 variedades . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-3749-4.