En geometría algebraica , una rama de las matemáticas , una superficie racional es una superficie biracionalmente equivalente al plano proyectivo , o en otras palabras, una variedad racional de dimensión dos. Las superficies racionales son las más simples de las aproximadamente 10 clases de superficies en la clasificación de Enriques-Kodaira de superficies complejas, y fueron las primeras superficies en ser investigadas.
Cada superficie racional no singular puede obtenerse haciendo explotar repetidamente una superficie racional mínima . Las superficies racionales mínimas son el plano proyectivo y las superficies de Hirzebruch Σ r para r = 0 or ≥ 2.
donde n es 0 para el plano proyectivo y 1 para las superficies de Hirzebruch y mayor que 1 para otras superficies racionales.
El grupo Picard es el retículo unimodular impar I 1, n , excepto para las superficies de Hirzebruch Σ 2 m cuando es el retículo unimodular par II 1,1 .
Guido Castelnuovo demostró que cualquier superficie compleja tal que q y P 2 (la irregularidad y el segundo plurigenus) se desvanezcan es racional. Esto se utiliza en la clasificación de Enriques-Kodaira para identificar las superficies racionales. Zariski (1958) demostró que el teorema de Castelnuovo también se aplica a campos de característica positiva.
El teorema de Castelnuovo también implica que cualquier superficie compleja uniracional es racional, porque si una superficie compleja es uniracional entonces su irregularidad y plurigenera están delimitadas por las de una superficie racional y por lo tanto son todas 0, por lo que la superficie es racional. La mayoría de las variedades complejas uniracionales de dimensión 3 o más grandes no son racionales. En la característica p > 0 Zariski (1958) encontró ejemplos de superficies uniracionales (superficies de Zariski ) que no son racionales.