En geometría algebraica , una rama de las matemáticas , una superficie de Zariski es una superficie sobre un campo de característica p > 0 tal que existe un mapa inseparable dominante de grado p desde el plano proyectivo hasta la superficie. En particular, todas las superficies de Zariski son uniracionales . Fueron nombrados por Piotr Blass en 1977 en honor a Oscar Zariski, quien los usó en 1958 para dar ejemplos de superficies uniracionales en la característica p > 0 que no son racionales. (En la característica 0, por el contrario, el teorema de Castelnuovo implica que todas las superficies uniracionales son racionales).
Las superficies de Zariski son biracionales a las superficies en el 3-espacio afín A 3 definido por polinomios irreducibles de la forma
El siguiente problema fue planteado por Oscar Zariski en 1971: Sea S una superficie de Zariski con un género geométrico que desaparece . ¿Es S necesariamente una superficie racional? Para p = 2 y para p = 3, la respuesta al problema anterior es negativa, como lo mostró en 1977 Piotr Blass en su Ph.D. de la Universidad de Michigan . tesis y por William E. Lang en su doctorado en Harvard. tesis en 1978. Kentaro Mitsui ( 2014 ) anunció más ejemplos que dan una respuesta negativa a la pregunta de Zariski en cada característica p> 0. Sin embargo, su método no es constructivo en este momento y no tenemos ecuaciones explícitas para p> 3.
Ver también
Referencias
- Blass, Piotr; Lang, Jeffrey (1987), superficies de Zariski y ecuaciones diferenciales en la característica p > 0 , Monografías y libros de texto en matemáticas puras y aplicadas, 106 , Nueva York: Marcel Dekker Inc., ISBN 978-0-8247-7637-4, MR 0879599
- Mitsui, Kentaro (2014), "Sobre una cuestión de Zariski sobre superficies Zariski", Math. Z. , 276 (1–2): 237–242, doi : 10.1007 / s00209-013-1195-0 , MR 3150201
- Zariski, Oscar (1958), "Sobre el criterio de racionalidad de Castelnuovo p a = P 2 = 0 de una superficie algebraica" , Illinois Journal of Mathematics , 2 : 303–315, ISSN 0019-2082 , MR 0099990