En matemáticas, una superficie de Hirzebruch es una superficie reglada sobre la línea proyectiva . Fueron estudiados por Friedrich Hirzebruch ( 1951 ).
Definición
La superficie de Hirzebruch es el -paquete, llamado paquete proyectivo , sobreasociado a la gavilla
La notación aquí significa: es el n -ésimo poder tensorial de la gavilla de torsión de Serre , el haz o haz de líneas invertible con divisor Cartier asociado de un solo punto. La superficiees isomorfo a P 1 × P 1 , yes isomorfo a P 2 explotado en un punto, por lo que no es mínimo.
Cociente GIT
Un método para construir la superficie de Hirzebruch es usar un cociente GIT [1] pág. 21
donde la acción de es dado por
Esta acción se puede interpretar como la acción de sobre los dos primeros factores proviene de la acción de en definiendo , y la segunda acción es una combinación de la construcción de una suma directa de haces de líneas en y su proyectivización. Por la suma directaesto puede estar dado por la variedad del cociente [1] pág. 24
donde la acción de es dado por
Entonces, la proyectivización es dado por otro -acción [1] pág. 22 enviando una clase de equivalencia a
La combinación de estas dos acciones da como resultado el cociente original hacia arriba.
Mapas de transición
Una forma de construir esto -el paquete es mediante el uso de funciones de transición. Dado que los paquetes de vectores afines son necesariamente triviales, en los gráficos de definido por existe el modelo local del paquete
Luego, los mapas de transición, inducidos a partir de los mapas de transición de dar el mapa
enviando
dónde es la función de coordenadas afines en . [2]
Propiedades
Paquetes de rango proyectivo 2 sobre P 1
Tenga en cuenta que el paquete proyectivo
es equivalente a una superficie de Hirzebruch, ya que los paquetes proyectivos son invariantes después de tensarlos mediante un paquete de líneas. [3] En particular, esto está asociado a la superficie de Hirzebruch. ya que este paquete puede ser tensado por el paquete de línea .
Isomorfismos de superficies de Hirzebruch
En particular, la observación anterior da un isomorfismo entre y ya que existen los paquetes de vectores de isomorfismo
Análisis del álgebra simétrica asociada
Recuerde que los paquetes proyectivos se pueden construir usando Relative Proj , que se forma a partir del haz graduado de álgebras.
Los primeros módulos simétricos son especiales ya que hay un anti-simétrico no trivial -módulo . Estas poleas se resumen en la tabla.
Para las poleas simétricas están dadas por
Propiedades
Las superficies de Hirzebruch para n > 0 tienen una curva racional especial C sobre ellas: la superficie es el haz proyectivo de O (- n ) y la curva C es la sección cero . Esta curva tiene un número de auto-intersección - n , y es la única curva irreducible con un número de auto-intersección negativo. Las únicas curvas irreducibles con un número de auto-intersección cero son las fibras de la superficie de Hirzebruch (consideradas como un haz de fibras sobre P 1 ). El grupo Picard es generado por la curva C y una de las fibras, y estos generadores tienen matriz de intersección
entonces la forma bilineal es bidimensional unimodular, y es par o impar dependiendo de si n es par o impar.
La superficie de Hirzebruch Σ n ( n > 1) explotada en un punto de la curva especial C es isomorfa a Σ n +1 explotada en un punto que no está en la curva especial.
Ver también
Referencias
- ↑ a b c Manetti, Marco (14 de julio de 2005). "Conferencias sobre deformaciones de variedades complejas". arXiv : matemáticas / 0507286 .
- ^ Gathmann, Andreas. "Geometría algebraica" (PDF) .
- ^ "Sección 27.20 (02NB): Torsión por poleas invertibles y proyecto relativo: el proyecto Stacks" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 23 de mayo de 2020 .
- Barth, Wolf P .; Hulek, Klaus; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004), Compact Complex Surfaces , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4 , Springer-Verlag, Berlín, ISBN 978-3-540-00832-3, MR 2030225
- Beauville, Arnaud (1996), Superficies algebraicas complejas , Textos estudiantiles de la London Mathematical Society, 34 (2a ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-49510-3, Señor1406314
- Hirzebruch, Friedrich (1951), "von einfachzusammenhängenden komplexen Mannigfaltigkeiten Über Eine Klasse", Mathematischen Annalen , 124 : 77-86, doi : 10.1007 / BF01343552 , HDL : 21.11116 / 0000-0004-3A56-B , ISSN 0.025 a 5.831 , MR 0045384 , S2CID 122844063
enlaces externos
- Atlas del colector
- https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/alggeom-2002/alggeom-2002-c10.pdf
- https://mathoverflow.net/q/122952