En matemáticas , la clasificación de Enriques-Kodaira es una clasificación de superficies complejas compactas en diez clases. Para cada una de estas clases, las superficies de la clase se pueden parametrizar mediante un espacio de módulos . Para la mayoría de las clases, los espacios de módulos se entienden bien, pero para la clase de superficies de tipo general, los espacios de módulos parecen demasiado complicados para describirlos explícitamente, aunque se conocen algunos componentes.
Max Noether comenzó el estudio sistemático de superficies algebraicas y Guido Castelnuovo demostró ser partes importantes de la clasificación. Federigo Enriques ( 1914 , 1949 ) describió la clasificación de superficies proyectivas complejas. Kunihiko Kodaira ( 1964 , 1966 , 1968 , 1968b ) posteriormente amplió la clasificación para incluir superficies compactas no algebraicas. La clasificación análoga de superficies en característica positiva fue iniciada por David Mumford ( 1969 ) y completada por Enrico Bombieri y David Mumford ( 1976, 1977 ); es similar al caso proyectivo de la característica 0, excepto que también se obtienen superficies de Enriques singulares y supersingulares en la característica 2, y superficies cuasi-hiperelípticas en las características 2 y 3.
Declaración de la clasificación
La clasificación de Enriques-Kodaira de superficies complejas compactas establece que cada superficie compleja mínima compacta no singular es exactamente de uno de los 10 tipos enumerados en esta página; en otras palabras, es una de las superficies racionales, regidas (género> 0), tipo VII, K3, Enriques, Kodaira, tóricas, hiperelípticas, propiamente cuasi-elípticas o de tipo general.
Para las 9 clases de superficies distintas del tipo general, hay una descripción bastante completa de cómo se ven todas las superficies (que para la clase VII depende de la conjetura de la capa esférica global , aún no probada en 2009). Para las superficies de tipo general, no se sabe mucho acerca de su clasificación explícita, aunque se han encontrado muchos ejemplos.
La clasificación de superficies algebraicas en característica positiva ( Mumford 1969 , Mumford & Bombieri 1976 , 1977 ) es similar a la de superficies algebraicas en característica 0, excepto que no hay superficies Kodaira o superficies de tipo VII, y hay algunas familias extra de Superficies de Enriques en el carácter 2, y superficies hiperelípticas en los caracteres 2 y 3, y en Kodaira dimensión 1 en los caracteres 2 y 3 también permite fibraciones cuasielípticas. Estas familias adicionales pueden entenderse de la siguiente manera: En la característica 0 estas superficies son los cocientes de superficies por grupos finitos, pero en características finitas también es posible tomar cocientes por esquemas de grupos finitos que no son étale .
Oscar Zariski construyó unas superficies en característica positiva que son uniracionales pero no racionales, derivadas de extensiones inseparables ( superficies de Zariski ). En característica positiva, Serre mostró que puede diferir de , e Igusa demostró que incluso cuando son iguales pueden ser mayores que la irregularidad (la dimensión de la variedad Picard ).
Invariantes de superficies
Números de Hodge y dimensión de Kodaira
Las invariantes más importantes de las superficies complejas compactas utilizadas en la clasificación se pueden dar en términos de las dimensiones de varios grupos de cohomología de gavillas coherentes . Los básicos son los números plurigenera y Hodge definidos de la siguiente manera:
- K es el haz de líneas canónicas cuyas secciones son las 2 formas holomórficas.
- se llaman plurigenera . Son invariantes biracionales , es decir, invariantes al explotar. Utilizando la teoría de Seiberg-Witten , Robert Friedman y John Morgan demostraron que para las variedades complejas solo dependen de la 4-variedad suave orientada subyacente. Para las superficies que no son de Kähler, la plurigenera está determinada por el grupo fundamental, pero para las superficies de Kähler hay ejemplos de superficies que son homeomorfas pero tienen diferentes dimensiones de plurigenera y Kodaira. Las plurigenera individuales no se utilizan con frecuencia; lo más importante de ellos es su tasa de crecimiento, medida por la dimensión Kodaira .
- es la dimensión de Kodaira : es (a veces escrito −1) si las plurigenera son todas 0, y de lo contrario es el número más pequeño (0, 1 o 2 para superficies) tal que está ligado. Enriques no usó esta definición: en su lugar usó los valores de y . Estos determinan la dimensión de Kodaira dada la siguiente correspondencia:
- dónde es el haz de i- formas holomórficas, son los números de Hodge , a menudo dispuestos en el diamante de Hodge:
- Por la dualidad de Serre y Los números de Hodge de una superficie compleja dependen solo del anillo de cohomología real orientado de la superficie y son invariantes bajo transformaciones biracionales excepto por que aumenta en 1 bajo la explosión de un solo punto.
- Si la superficie es Kähler, entonces y solo hay tres números de Hodge independientes.
- Si la superficie es compacta entonces es igual a o
Hay muchos invariantes que (al menos para superficies complejas) se pueden escribir como combinaciones lineales de los números de Hodge, de la siguiente manera:
- Números de Betti : definidos por
- En la característica p > 0, los números de Betti se definen usando cohomología l-ádica y no necesitan satisfacer estas relaciones.
- Característica de Euler o número de Euler :
- La irregularidad se define como la dimensión de la variedad Picard y la variedad Albanese y se denota con q . Para superficies complejas (pero no siempre para superficies de características principales)
- El género geométrico :
- El género aritmético :
- La característica holomórfica de Euler del paquete trivial (generalmente difiere del número de Euler e definido anteriormente):
- Según la fórmula de Noether, también es igual al género Todd.
- La firma del segundo grupo de cohomología para superficies complejas se denota por:
- son las dimensiones de los subespacios definidos máximos positivos y negativos de entonces:
- c 2 = e yson los números de Chern , definidos como las integrales de varios polinomios en las clases de Chern sobre la variedad.
Otros invariantes
Hay más invariantes de superficies complejas compactas que no se utilizan tanto en la clasificación. Estos incluyen invariantes algebraicos como el grupo Picard Pic ( X ) de divisores módulo de equivalencia lineal , su cociente el grupo Néron-Severi NS ( X ) con rango el número Picard ρ, invariantes topológicos como el grupo fundamental π 1 y la homología integral y grupos de cohomología, e invariantes de la variedad 4 suave subyacente , como las invariantes de Seiberg-Witten y las invariantes de Donaldson .
Modelos mínimos y voladura
Cualquier superficie es biracional a una superficie no singular, por lo que para la mayoría de los propósitos es suficiente clasificar las superficies no singulares.
Dado cualquier punto de una superficie, podemos formar una nueva superficie haciendo estallar este punto, lo que significa aproximadamente que lo reemplazamos por una copia de la línea proyectiva. A los efectos de este artículo, una superficie X no singular se denomina mínima si no puede obtenerse de otra superficie no singular mediante la voladura de un punto. Según el teorema de la contracción de Castelnuovo , esto equivale a decir que X no tiene curvas (-1) (curvas racionales suaves con número de auto-intersección -1). (En la terminología más moderna del programa de modelo mínimo , una superficie proyectiva lisa X se llamaría mínima si su paquete de líneas canónicas K X es nef . Una superficie proyectiva lisa tiene un modelo mínimo en ese sentido más fuerte si y solo si su dimensión Kodaira no es negativo.)
Cada superficie X es biracional a una superficie mínima no singular, y esta superficie mínima no singular es única si X tiene una dimensión de Kodaira al menos 0 o no es algebraica. Superficies algebraicas de dimensión Kodairapuede ser biracional a más de una superficie mínima no singular, pero es fácil describir la relación entre estas superficies mínimas. Por ejemplo, P 1 × P 1 explotado en un punto es isomorfo a P 2 explotado dos veces. Entonces, para clasificar todas las superficies complejas compactas hasta el isomorfismo bracional es (más o menos) suficiente clasificar las mínimas no singulares.
Superficies de dimensión Kodaira −∞
Superficies algebraicas de dimensión Kodaira pueden clasificarse de la siguiente manera. Si q > 0, el mapa de la variedad albanesa tiene fibras que son líneas proyectivas (si la superficie es mínima), por lo que la superficie es una superficie reglada. Si q = 0 este argumento no funciona ya que la variedad albanesa es un punto, pero en este caso el teorema de Castelnuovo implica que la superficie es racional.
Para las superficies no algebraicas, Kodaira encontró una clase adicional de superficies, llamadas tipo VII, que aún no se comprenden bien.
Superficies racionales
Superficie racional significa superficie biracional al plano proyectivo complejo P 2 . Todos estos son algebraicos. Las superficies racionales mínimos son P 2 en sí y el Hirzebruch superficies Σ n para n = 0 o n ≥ 2. (La superficie Hirzebruch Σ n es el P 1 paquete sobre P 1 asociado a la O gavilla (0) + O ( n ) La superficie Σ 0 es isomorfa a P 1 × P 1 , y Σ 1 es isomorfa a P 2 explotada en un punto, por lo que no es mínima.)
Invariantes: Las plurigenera son todas 0 y el grupo fundamental es trivial.
Diamante de Hodge:
1 0 0 0 1 0 (Plano proyectivo) 0 0 1 1 0 0 0 2 0 (Superficies de Hirzebruch) 0 0 1
Ejemplos: P 2 , P 1 × P 1 = Σ 0 , superficies de Hirzebruch Σ n , cuadrículas , superficies cúbicas , superficies del Pezzo , superficie Veronese . Muchos de estos ejemplos no son mínimos.
Superficies regladas de género> 0
Las superficies regladas del género g tienen un morfismo suave a una curva del género g cuyas fibras son líneas P 1 . Todos son algebraicos. (Las del género 0 son las superficies de Hirzebruch y son racionales). Cualquier superficie reglada es biracionalmente equivalente a P 1 × C para una curva única C , por lo que la clasificación de superficies regladas hasta la equivalencia biracional es esencialmente la misma que la clasificación de curvas. Una superficie reglada no isomorfa a P 1 × P 1 tiene una regla única ( P 1 × P 1 tiene dos).
Invariantes: Las plurigenera son todas 0.
Diamante de Hodge:
1 gramo gramo 0 2 0 gramo gramo 1
Ejemplos: el producto de cualquier curva de género> 0 con P 1 .
Superficies de clase VII
Estas superficies nunca son algebraicas o de Kähler . Los mínimos con b 2 = 0 han sido clasificados por Bogomolov y son superficies Hopf o superficies Inoue . Los ejemplos con un segundo número Betti positivo incluyen superficies Inoue-Hirzebruch , superficies Enoki y, más generalmente, superficies Kato . La conjetura de la capa esférica global implica que todas las superficies mínimas de clase VII con un segundo número de Betti positivo son superficies de Kato, lo que más o menos completaría la clasificación de las superficies de tipo VII.
Invariantes: q = 1, h 1,0 = 0. Todas las plurigenera son 0.
Diamante de Hodge:
1 0 1 0 b 2 0 1 0 1
Superficies de Kodaira dimensión 0
Estas superficies se clasifican comenzando con la fórmula de Noether Para la dimensión 0 de Kodaira, K tiene un número de intersección cero consigo mismo , por lo que Utilizando
llegamos a:
Además, dado que κ = 0 tenemos:
combinando esto con la ecuación anterior da:
En general, 2 h 0,1 ≥ b 1 , por lo que tres términos de la izquierda son números enteros no negativos y hay solo unas pocas soluciones para esta ecuación.
- Para superficies algebraicas 2 h 0,1 - b 1 es un número entero par entre 0 y 2 p g .
- Para superficies complejas compactas 2 h 0,1 - b 1 = 0 o 1.
- Para superficies de Kähler 2 h 0,1 - b 1 = 0 y h 1,0 = h 0,1 .
La mayoría de las soluciones a estas condiciones corresponden a clases de superficies, como en la siguiente tabla:
b 2 | b 1 | h 0,1 | p g = h 0,2 | h 1,0 | h 1,1 | Superficies | Campos |
---|---|---|---|---|---|---|---|
22 | 0 | 0 | 1 | 0 | 20 | K3 | Alguna. Siempre Kähler sobre los números complejos, pero no es necesario que sea algebraico. |
10 | 0 | 0 | 0 | 0 | 10 | Enriques clásicos | Alguna. Siempre algebraico. |
10 | 0 | 1 | 1 | Enriques no clásicos | Única característica 2 | ||
6 | 4 | 2 | 1 | 2 | 4 | Superficies abelianas, tori | Alguna. Siempre Kähler sobre los números complejos, pero no es necesario que sea algebraico. |
2 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | Hiperelíptico | Alguna. Siempre algebraico |
2 | 2 | 2 | 1 | Cuasi hiperelíptico | Solo características 2, 3 | ||
4 | 3 | 2 | 1 | 1 | 2 | Kodaira primaria | Solo complejo, nunca Kähler |
0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | Kodaira secundaria | Solo complejo, nunca Kähler |
Superficies K3
Estas son las superficies complejas compactas mínimas de la dimensión 0 de Kodaira con q = 0 y un paquete de líneas canónicas triviales. Todos son colectores de Kähler . Todas las superficies de K3 son difeomorfas, y su clase de difeomorfismo es un ejemplo importante de un espín suave simplemente 4-múltiple conectado.
Invariantes: El segundo grupo de cohomología H 2 ( X , Z ) es isomorfo a la única red unimodular uniforme II 3,19 de dimensión 22 y firma −16.
Diamante de Hodge:
1 | ||||
0 | 0 | |||
1 | 20 | 1 | ||
0 | 0 | |||
1 |
Ejemplos :
- Hiperuperficies de grado 4 en P 3 ( C )
- Superficies Kummer . Estos se obtienen cocienteizando una superficie abeliana por el automorfismo a → - a , luego explotando los 16 puntos singulares.
Una superficie marcada con K3 es una superficie K3 junto con un isomorfismo de II 3,19 a H 2 ( X , Z ). El espacio de módulos de las superficies marcadas K3 está conectado con un espacio analítico suave no de Hausdorff de dimensión 20. Las superficies algebraicas K3 forman una colección contable de subvariedades de 19 dimensiones de la misma.
Superficies abelianas y toros complejos bidimensionales
Los toros complejos bidimensionales incluyen las superficies abelianas . Los toros complejos unidimensionales son solo curvas elípticas y son todos algebraicos, pero Riemann descubrió que la mayoría de los toros complejos de dimensión 2 no son algebraicos. Los algebraicos son exactamente las variedades abelianas bidimensionales . La mayor parte de su teoría es un caso especial de la teoría de tori de dimensiones superiores o variedades abelianas. Los criterios para ser un producto de dos curvas elípticas (hasta la isogenia ) fueron un estudio popular en el siglo XIX.
Invariantes: Las plurigenera son todas 1. La superficie es difeomorfa a S 1 × S 1 × S 1 × S 1 por lo que el grupo fundamental es Z 4 .
Diamante de Hodge:
1 2 2 1 4 1 2 2 1
Ejemplos: un producto de dos curvas elípticas. El jacobiano de una curva de género 2. Cualquier cociente de C 2 por una red.
Superficies Kodaira
Estos nunca son algebraicos, aunque tienen funciones meromórficas no constantes. Por lo general, se dividen en dos subtipos: superficies Kodaira primarias con paquete canónico trivial y superficies Kodaira secundarias que son cocientes de estos por grupos finitos de órdenes 2, 3, 4 o 6, y que tienen paquetes canónicos no triviales. Las superficies secundarias de Kodaira tienen la misma relación con las primarias que tienen las superficies de Enriques con las superficies K3, o las superficies bielípticas con las superficies abelianas.
Invariantes: Si la superficie es el cociente de una superficie Kodaira primaria por un grupo de orden k = 1, 2, 3, 4, 6, entonces las plurigenera P n son 1 si n es divisible por ky 0 en caso contrario.
Diamante de Hodge:
1 1 2 1 2 1 (Primario) 2 1 1 1 0 1 0 0 0 (Secundario) 1 0 1
Ejemplos: tome un haz de líneas no trivial sobre una curva elíptica, elimine la sección cero, luego cociente las fibras por Z que actúa como multiplicación por potencias de algún número complejo z . Esto le da una superficie Kodaira primaria.
Enriques superficies
Estas son las superficies complejas tales que q = 0 y el paquete de líneas canónicas no es trivial, pero tiene un cuadrado trivial. Las superficies de Enrique son todas algebraicas (y por lo tanto, de Kähler ). Son cocientes de superficies K3 por un grupo de orden 2 y su teoría es similar a la de las superficies algebraicas K3.
Invariantes: Las plurigenera P n son 1 si n es par y 0 si n es impar. El grupo fundamental tiene orden 2. El segundo grupo de cohomología H 2 ( X , Z ) es isomorfo a la suma de la única red unimodular II 1,9 de dimensión 10 y firma −8 y un grupo de orden 2.
Diamante de Hodge:
1 0 0 0 10 0 0 0 1
Las superficies marcadas de Enriques forman una familia de 10 dimensiones conectadas, que se ha descrito explícitamente.
En la característica 2 hay algunas familias adicionales de superficies de Enriques llamadas superficies de Enriques singulares y supersingulares; vea el artículo sobre superficies de Enriques para más detalles.
Superficies hiperelípticas (o bielípticas)
Sobre los números complejos, estos son cocientes de un producto de dos curvas elípticas por un grupo finito de automorfismos. El grupo finito puede ser Z / 2 Z , Z / 2 Z + Z / 2 Z , Z / 3 Z , Z / 3 Z + Z / 3 Z , Z / 4 Z , Z / 4 Z + Z / 2 Z , o Z / 6 Z , dando siete familias de tales superficies. En los campos de las características 2 o 3 hay algunas familias adicionales que se obtienen tomando cocientes de un esquema de grupo no etale; consulte el artículo sobre superficies hiperelípticas para obtener más detalles.
Diamante de Hodge:
1 1 1 0 2 0 1 1 1
Superficies de Kodaira dimensión 1
Una superficie elíptica es una superficie equipada con una fibración elíptica (un mapa holomórfico sobreyectivo de una curva B, de modo que todas, salvo un número finito de fibras, son curvas suaves e irreducibles del género 1). La fibra genérica en tal una formación de fibras es una curva de género 1 sobre el campo de función de B . Por el contrario, dada una curva de género 1 sobre el campo de función de una curva, su modelo mínimo relativo es una superficie elíptica. Kodaira y otros han dado una descripción bastante completa de todas las superficies elípticas. En particular, Kodaira dio una lista completa de las posibles fibras singulares . La teoría de superficies elípticas es análoga a la teoría de modelos regulares adecuados de curvas elípticas sobre anillos de valoración discretos (p. Ej., El anillo de enteros p -ádicos ) y dominios de Dedekind (p. Ej., El anillo de números enteros de un campo numérico).
En las características finitas 2 y 3 también se pueden obtener superficies cuasi-elípticas , cuyas fibras pueden ser casi todas curvas racionales con un solo nodo, que son "curvas elípticas degeneradas".
Cada superficie de la dimensión 1 de Kodaira es una superficie elíptica (o una superficie cuasielíptica en las características 2 o 3), pero lo contrario no es cierto: una superficie elíptica puede tener una dimensión de Kodaira, 0, o 1. Todas las superficies de Enriques , todas las superficies hiperelípticas , todas las superficies de Kodaira , algunas superficies K3 , algunas superficies abelianas y algunas superficies racionales son superficies elípticas, y estos ejemplos tienen una dimensión de Kodaira menor que 1. Una superficie elíptica cuya curva base B es del género al menos 2 siempre tiene la dimensión Kodaira 1, pero la dimensión Kodaira puede ser 1 también para algunas superficies elípticas con B del género 0 o 1.
Invariantes:
Ejemplo: si E es una curva elíptica y B es una curva de género al menos 2, entonces E × B es una superficie elíptica de Kodaira dimensión 1.
Superficies de Kodaira dimensión 2 (superficies de tipo general)
Todos estos son algebraicos y, en cierto sentido, la mayoría de las superficies pertenecen a esta clase. Gieseker demostró que existe un esquema de módulos burdos para superficies de tipo general; esto significa que para cualquier valor fijo de los números de Chern c2
1y c 2 , existe un esquema cuasi proyectivo que clasifica las superficies de tipo general con esos números de Chern. Sin embargo, es un problema muy difícil describir estos esquemas explícitamente, y hay muy pocos pares de números de Chern para los que se ha hecho esto (¡excepto cuando el esquema está vacío!)
Invariantes: Hay varias condiciones que deben satisfacer los números de Chern de una superficie mínima compleja de tipo general:
- (la desigualdad Bogomolov-Miyaoka-Yau )
- (la desigualdad de Noether)
La mayoría de los pares de números enteros que satisfacen estas condiciones son los números de Chern para alguna superficie compleja de tipo general.
Ejemplos: Los ejemplos más simples son el producto de dos curvas de género al menos 2 y una hipersuperficie de grado al menos 5 en P 3 . Hay un gran número de otras construcciones conocidas. Sin embargo, no se conoce ninguna construcción que pueda producir superficies "típicas" de tipo general para grandes números de Chern; de hecho, ni siquiera se sabe si existe algún concepto razonable de una superficie "típica" de tipo general. Se han encontrado muchos otros ejemplos, incluidas la mayoría de las superficies modulares de Hilbert , planos proyectivos falsos , superficies de Barlow , etc.
Ver también
- Lista de superficies algebraicas
Referencias
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enlaces externos
- le superficie algebriche es una visualización interactiva de la clasificación de Enriques - Kodaira, de Pieter Belmans y Johan Commelin