número catalán

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En matemáticas combinatorias , los números catalanes son una secuencia de números naturales que ocurren en diversos problemas de conteo , que a menudo involucran objetos definidos de forma recursiva . Llevan el nombre del matemático franco-belga Eugène Charles Catalan .

que es equivalente a la expresión dada anteriormente porque . Esta expresión muestra que C _n es un número entero , lo que no es inmediatamente obvio a partir de la primera fórmula dada. Esta expresión constituye la base para demostrar la exactitud de la fórmula .${\displaystyle {\tbinom {2n}{n+1}}={\tfrac {n}{n+1}}{\tbinom {2n}{n}}}$

Esto se puede demostrar utilizando el crecimiento asintótico de los coeficientes binomiales centrales , mediante la aproximación de Stirling o mediante funciones generadoras .${\displaystyle n!}$

Los únicos números catalanes C _n que son impares son aquellos para los que n = 2 ^k − 1 ; todos los demás son iguales. Los únicos números primos catalanes son C ₂ = 2 y C ₃ = 5 . ^[1]

que inmediatamente cede .${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {C_{n}}{4^{n}}}=2}$

Esto tiene una interpretación probabilística simple. Considere un paseo aleatorio sobre la línea de números enteros, comenzando en 0. Sea -1 un estado de "trampa", de modo que si el caminante llega a -1, permanecerá allí. El caminante puede llegar al estado de trampa en los momentos 1, 3, 5, 7..., y el número de formas en que el caminante puede llegar al estado de trampa en ese momento es . Dado que el paseo aleatorio 1D es recurrente, la probabilidad de que el caminante llegue finalmente a -1 es .${\displaystyle 2k+1}$${\displaystyle C_{k}}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {C_{n}}{2^{2n+1}}}=1}$

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