En matemáticas , la aproximación de Stirling (o fórmula de Stirling ) es una aproximación de factoriales . Es una buena aproximación que conduce a resultados precisos incluso para valores pequeños de n . Lleva el nombre de James Stirling , aunque fue declarado por primera vez por Abraham de Moivre . [1] [2] [3]
Comparación de la aproximación de Stirling con el factorial
La versión de la fórmula que se usa normalmente en las aplicaciones es
La fórmula completa, junto con estimaciones precisas de su error, se puede derivar de la siguiente manera. En lugar de aproximar n ! , se considera su logaritmo natural , ya que esta es una función que varía lentamente :
El lado derecho de esta ecuación menos
es la aproximación por la regla del trapezoide de la integral
donde se usa la notación de O grande , la combinación de las ecuaciones anteriores produce la fórmula de aproximación en su forma logarítmica:
Tomando la exponencial de ambos lados y eligiendo cualquier entero positivo m , se obtiene una fórmula que involucra una cantidad desconocida e y . Para m = 1 , la fórmula es
La cantidad e y se puede encontrar tomando el límite en ambos lados cuando n tiende a infinito y usando el producto de Wallis , que muestra que e y = √ 2 π . Por tanto, se obtiene la fórmula de Stirling:
Derivación alternativa
¡Una fórmula alternativa para n ! el uso de la función gamma es
(como puede verse por la integración repetida por partes). Reescribiendo y cambiando variables x = ny , se obtiene
De hecho, también se pueden obtener más correcciones utilizando el método de Laplace. Por ejemplo, calcular la expansión de dos órdenes utilizando el método de Laplace produce
Esta integral de línea se puede aproximar utilizando el método del punto de silla con una elección adecuada de radio de contorno.. La parte dominante de la integral cerca del punto de silla se aproxima entonces mediante una integral real y el método de Laplace, mientras que la parte restante de la integral se puede acotar arriba para dar un término de error.
Velocidad de convergencia y estimaciones de error
El error relativo en una serie de Stirling truncada frente a n , de 0 a 5 términos. Las torceduras en las curvas representan puntos donde la serie truncada coincide con Γ ( n + 1) .
La fórmula de Stirling es de hecho la primera aproximación a la siguiente serie (ahora llamada serie de Stirling [5] ):
G. Nemes dio una fórmula explícita para los coeficientes de esta serie. [6] [a] El primer gráfico de esta sección muestra el error relativo frente a n , de 1 a los 5 términos enumerados anteriormente.
El error relativo en una serie de Stirling truncada frente al número de términos utilizados
Cuando n → ∞ , el error en la serie truncada es asintóticamente igual al primer término omitido. Este es un ejemplo de expansión asintótica . No es una serie convergente ; para cualquier valor particular de n, hay un número limitado de términos de la serie que mejoran la precisión, después de lo cual la precisión empeora. Esto se muestra en el siguiente gráfico, que muestra el error relativo frente al número de términos de la serie, para un mayor número de términos. Más precisamente, sea S ( n , t ) la serie de Stirling en t términos evaluados en n . Los gráficos muestran
que, cuando es pequeño, es esencialmente el error relativo.
Escribiendo la serie de Stirling en la forma
se sabe que el error al truncar la serie es siempre del signo opuesto y como mucho de la misma magnitud que el primer término omitido.
Los límites más precisos, debido a Robbins, [7] válidos para todos los enteros positivos n son
Sin embargo, la función gamma, a diferencia de la factorial, se define de manera más amplia para todos los números complejos que no sean enteros no positivos; sin embargo, la fórmula de Stirling aún se puede aplicar. Si Re ( z )> 0 , entonces
La integración repetida por partes da
donde B n es el n -ésimo número de Bernoulli (tenga en cuenta que el límite de la suma comono es convergente, por lo que esta fórmula es solo una expansión asintótica ). La fórmula es válida para z lo suficientemente grande en valor absoluto, cuando | arg ( z ) | <π - ε , donde ε es positivo, con un término de error de O ( z −2 N + 1 ) . Ahora se puede escribir la aproximación correspondiente:
donde la expansión es idéntica a la de la serie de Stirling anterior para n ! , excepto que n se reemplaza por z - 1 . [8]
Una aplicación adicional de esta expansión asintótica es para el argumento complejo z con constante Re ( z ) . Véase, por ejemplo, la fórmula de Stirling aplicada en Im ( z ) = t de la función theta de Riemann-Siegel en la línea recta.1/4+ eso .
Límites de error
Para cualquier entero positivo N , se introduce la siguiente notación:
donde s ( n , k ) denota los números de Stirling del primer tipo . De éste se obtiene una versión de la serie de Stirling.
que converge cuando Re ( x )> 0 .
Versiones adecuadas para calculadoras
La aproximación
y su forma equivalente
se puede obtener reordenando la fórmula extendida de Stirling y observando una coincidencia entre la serie de potencia resultante y la expansión de la serie de Taylor de la función del seno hiperbólico . Esta aproximación es buena para más de 8 dígitos decimales para z con una parte real mayor que 8. Robert H. Windschitl lo sugirió en 2002 para calcular la función gamma con bastante precisión en calculadoras con memoria de programa o registro limitada. [12]
Gergő Nemes propuso en 2007 una aproximación que da el mismo número de dígitos exactos que la aproximación de Windschitl, pero es mucho más simple: [13]
o equivalente,
Una aproximación alternativa para la función gamma establecida por Srinivasa Ramanujan ( Ramanujan 1988 [ aclaración necesaria ] ) es
para x ≥ 0 . La aproximación equivalente para ln n ! tiene un error asintótico de1/1400 n 3 y es dado por
La aproximación puede hacerse precisa dando pares de límites superior e inferior; una de esas desigualdades es [14] [15] [16] [17]
Estimación del efecto central en la distribución binomial
En informática, especialmente en el contexto de algoritmos aleatorios , es común generar vectores de bits aleatorios que tienen potencias de dos de longitud. Muchos algoritmos que producen y consumen estos vectores de bits son sensibles al recuento de población de los vectores de bits generados, o de la distancia de Manhattan entre dos de dichos vectores. A menudo, de particular interés es la densidad de vectores "justos", donde el recuento de población de un vector de n bits es exactamente. Esto equivale a la probabilidad de que el lanzamiento de una moneda repetida durante muchas pruebas lleve a un juego de empate.
Aproximación de Stirling a , el coeficiente binomial central y máximo de la distribución binomial , se simplifica especialmente cuando toma la forma de , para un entero . Aquí estamos interesados en cómo se reduce la densidad del recuento de población central en comparación con, derivando la última forma en atenuación de decibelios :
Esta simple aproximación exhibe una precisión sorprendente:
La disminución binaria se obtiene a partir de dB al dividir por .
Como estimación fraccionaria directa:
Una vez más, ambos ejemplos muestran una precisión que supera fácilmente el 1%:
Interpretado en un lanzamiento de moneda iterado, una sesión que involucra un poco más de un millón de lanzamientos de moneda (un millón binario) tiene una probabilidad entre aproximadamente 1300 de terminar en tablas.
Ambas aproximaciones (una en el espacio logarítmico, la otra en el espacio lineal) son lo suficientemente simples para que muchos desarrolladores de software obtengan la estimación mentalmente, con una precisión excepcional según los estándares de las estimaciones mentales.
La distribución binomial se aproxima mucho a la distribución normal para grandes, por lo que estas estimaciones basadas en la aproximación de Stirling también se relacionan con el valor máximo de la función de masa de probabilidad para grandes y , como se especifica para la siguiente distribución: .
Historia
La fórmula fue descubierta por primera vez por Abraham de Moivre [2] en la forma
De Moivre dio una expresión aproximada en números racionales para el logaritmo natural de la constante. La contribución de Stirling consistió en mostrar que la constante es precisamente. [3]
Ver también
Aproximación de Lanczos
Aproximación de Spouge
Notas
^ Más términos se enumeran en la Enciclopedia en línea de secuencias de enteros como A001163 y A001164 .
Referencias
^ Dutka, Jacques (1991), "La historia temprana de la función factorial", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , 43 (3): 225–249, doi : 10.1007 / BF00389433
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^ a bPearson, Karl (1924), "Nota histórica sobre el origen de la curva normal de errores", Biometrika , 16 (3/4): 402–404 [p. 403], doi : 10.2307 / 2331714 , JSTOR 2331714 , considero que el hecho de que Stirling mostró que la constante aritmética de De Moivre era √ 2 π no le da derecho a reclamar el teorema, [...]
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^"Copia archivada" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 28 de enero de 2012 . Consultado el 1 de marzo de 2012 .Mantenimiento de CS1: copia archivada como título ( enlace )
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