En física , un material Cauchy-elástico es aquel en el que la tensión en cada punto está determinada únicamente por el estado actual de deformación con respecto a una configuración de referencia arbitraria. [1] Un material Cauchy-elástico también se denomina material elástico simple .
De esta definición se deduce que la tensión en un material Cauchy-elástico no depende de la trayectoria de deformación o del historial de deformación, ni del tiempo necesario para lograr esa deformación o de la velocidad a la que se alcanza el estado de deformación. La definición también implica que las ecuaciones constitutivas son espacialmente locales; es decir, la tensión solo se ve afectada por el estado de deformación en una vecindad infinitesimal del punto en cuestión, sin tener en cuenta la deformación o el movimiento del resto del material. También implica que las fuerzas corporales (como la gravedad) y las fuerzas de inercia no pueden afectar las propiedades del material. Finalmente, un material Cauchy-elástico debe satisfacer los requisitos de objetividad del material .
Los materiales Cauchy-elásticos son abstracciones matemáticas, y ningún material real se ajusta perfectamente a esta definición. Sin embargo, a menudo se puede suponer que muchos materiales elásticos de interés práctico, como el acero, el plástico, la madera y el hormigón, son Cauchy-elásticos a efectos del análisis de tensión .
Definición matemática
Formalmente, se dice que un material es Cauchy-elástico si el tensor de tensión de Cauchy es una función del tensor de deformación ( gradiente de deformación ) solo:
Esta definición supone que se puede ignorar el efecto de la temperatura y que el cuerpo es homogéneo. Ésta es la ecuación constitutiva de un material Cauchy-elástico.
Tenga en cuenta que la función depende de la elección de la configuración de referencia. Normalmente, la configuración de referencia se toma como la configuración relajada (sin estrés), pero no es necesario.
La indiferencia del marco material requiere que la relación constitutivano debe cambiar cuando cambia la ubicación del observador. Por lo tanto, la ecuación constitutiva para otro observador arbitrario se puede escribir. Sabiendo que el tensor de tensión de Cauchy y el gradiente de deformación son cantidades objetivas , se puede escribir:
dónde es un tensor ortogonal adecuado.
Lo anterior es condición para que el derecho constitutivo tiene que respetar para asegurarse de que la respuesta del material sea independiente del observador. Se pueden derivar condiciones similares para las leyes constitutivas que relacionan el gradiente de deformación con el primer o segundo tensor de tensión de Piola-Kirchhoff .
Materiales Cauchy-elásticos isotrópicos
Para un material isotrópico, el tensor de tensión de Cauchy se puede expresar en función del tensor de Cauchy-Green izquierdo . La ecuación constitutiva puede entonces escribirse:
Para encontrar la restricción en que asegurará el principio de la indiferencia del marco material, se puede escribir:
Se dice que una ecuación constitutiva que respeta la condición anterior es isotrópica .
Materiales no conservadores
Aunque la tensión en un material Cauchy-elástico depende solo del estado de deformación, el trabajo realizado por las tensiones puede depender de la trayectoria de deformación. Por lo tanto, un material elástico de Cauchy en general tiene una estructura no conservadora y la tensión no puede derivarse necesariamente de una función escalar de "potencial elástico". Los materiales que son conservadores en este sentido se denominan hiperelásticos o "verde-elásticos".
Referencias
- ^ RW Ogden, 1984, Deformaciones elásticas no lineales , Dover, págs. 175-204.