Curvas de tensión-deformación para varios modelos de materiales hiperelásticos.
Para muchos materiales, los modelos elásticos lineales no describen con precisión el comportamiento observado del material. El ejemplo más común de este tipo de material es el caucho, cuya relación tensión - deformación puede definirse como no linealmente elástica, isotrópica , incompresible y generalmente independiente de la velocidad de deformación . La hiperelasticidad proporciona un medio para modelar el comportamiento tensión-deformación de dichos materiales. [2] El comportamiento de los elastómeros vulcanizados sin relleno a menudo se ajusta estrechamente al ideal hiperelástico. Elastómeros rellenos y tejidos biológicos [3] [4] también se modelan a menudo a través de la idealización hiperelástica.
Ronald Rivlin y Melvin Mooney desarrollaron los primeros modelos hiperelásticos, los sólidos Neo-Hookean y Mooney-Rivlin . Desde entonces se han desarrollado muchos otros modelos hiperelásticos. Otros modelos de materiales hiperelásticos ampliamente utilizados incluyen el modelo Ogden y el modelo Arruda-Boyce .
Modelos de materiales hiperelásticos
Modelo Saint Venant-Kirchhoff
El modelo de material hiperelástico más simple es el modelo de Saint Venant-Kirchhoff, que es solo una extensión del modelo de material elástico geométricamente lineal al régimen geométricamente no lineal. Este modelo tiene la forma general y la forma isotrópica respectivamente
dónde es el segundo estrés de Piola-Kirchhoff, es un tensor de rigidez de cuarto orden y es la cepa Lagrangian Green dada por
y son las constantes de Lamé , y es el tensor unitario de segundo orden.
La función de densidad de energía de deformación para el modelo de Saint Venant-Kirchhoff es
y el segundo estrés de Piola-Kirchhoff se puede derivar de la relación
Clasificación de modelos de materiales hiperelásticos
Los modelos de materiales hiperelásticos se pueden clasificar como:
1) descripciones fenomenológicas del comportamiento observado
Generalmente, un modelo hiperelástico debería satisfacer el criterio de estabilidad de Drucker . Algunos modelos hiperelásticos satisfacen la hipótesis de Valanis-Landel que establece que la función de energía de deformación se puede separar en la suma de funciones separadas de los tramos principales:
dónde es el gradiente de deformación . En términos de la cepa Lagrangian Green ()
En términos del tensor de deformación de Cauchy-Green derecho ()
Segundo estrés de Piola-Kirchhoff
Si es el segundo tensor de tensión de Piola-Kirchhoff, entonces
En términos de la variedad Lagrangian Green
En términos del tensor de deformación de Cauchy-Green derecho
La relación anterior también se conoce como la fórmula de Doyle-Ericksen en la configuración del material.
Estrés de Cauchy
De manera similar, la tensión de Cauchy está dada por
En términos de la variedad Lagrangian Green
En términos del tensor de deformación de Cauchy-Green derecho
Las expresiones anteriores son válidas incluso para medios anisotrópicos (en cuyo caso, se entiende que la función potencial depende implícitamente de cantidades direccionales de referencia, como las orientaciones iniciales de las fibras). En el caso especial de isotropía, la tensión de Cauchy se puede expresar en términos de la izquierda tensor deformación Cauchy-Green de la siguiente manera: [7]
Materiales hiperelásticos incompresibles
Por un material incompresible. Por tanto, la restricción de incompresibilidad es. Para asegurar la incompresibilidad de un material hiperelástico, la función de energía de deformación se puede escribir en forma:
donde la presión hidrostática funciona como un multiplicador lagrangiano para hacer cumplir la restricción de incompresibilidad. El primer estrés de Piola-Kirchhoff ahora se convierte en
Este tensor de tensión se puede convertir posteriormente en cualquiera de los otros tensores de tensión convencionales, como el tensor de tensión de Cauchy que viene dado por
Para materiales hiperelásticos isotrópicos , la tensión de Cauchy se puede expresar en términos de las invariantes del tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo (o tensor de deformación de Cauchy-Green derecho ). Si la función de densidad de energía de deformación es, luego
(Consulte la página del tensor de deformación Cauchy-Green de la izquierda para conocer las definiciones de estos símbolos).
Prueba 1:
El segundo tensor de tensión de Piola-Kirchhoff para un material hiperelástico viene dado por
dónde es el tensor de deformación de Cauchy-Green derecho yes el gradiente de deformación . El estrés de Cauchy está dado por
dónde . Dejar ser los tres principales invariantes de . Luego
Las derivadas de las invariantes del tensor simétrico están
Por tanto, podemos escribir
Conectar con la expresión del estrés de Cauchy da
Usando el tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo y notando que , podemos escribir
Por un material incompresible y por lo tanto .Luego
Por tanto, la tensión de Cauchy viene dada por
dónde es una presión indeterminada que actúa como un multiplicador de Lagrange para hacer cumplir la restricción de incompresibilidad.
Si, además, , tenemos y por lo tanto
En ese caso, la tensión de Cauchy se puede expresar como
Prueba 2:
El gradiente de deformación isocórica se define como, lo que da como resultado que el gradiente de deformación isocórico tiene un determinante de 1, en otras palabras, no tiene estiramiento de volumen. Utilizando este se puede definir posteriormente el tensor de deformación isocórico izquierdo de Cauchy-Green..
Los invariantes de están El conjunto de invariantes que se utilizan para definir el comportamiento de distorsión son los dos primeros invariantes del tensor tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo isocórico (que son idénticos a los del tensor de estiramiento de Cauchy Green derecho), y suman en la refriega para describir el comportamiento volumétrico.
Para expresar la tensión de Cauchy en términos de las invariantes recordar que
La regla de la cadena de diferenciación nos da
Recuerde que la tensión de Cauchy está dada por
En términos de las invariantes tenemos
Reemplazando las expresiones para las derivadas de en términos de , tenemos
o,
En términos de la parte desviadora de , podemos escribir
Por un material incompresible y por lo tanto Entonces la tensión de Cauchy viene dada por
dónde es un término multiplicador de Lagrange indeterminado similar a la presión. Además, si, tenemos y por lo tanto, el estrés de Cauchy se puede expresar como
Prueba 3:
Expresar la tensión de Cauchy en términos de estiramientos. recordar que
La regla de la cadena da
El estrés de Cauchy está dado por
Reemplazando la expresión para la derivada de lleva a
Usando la descomposición espectral de tenemos
También tenga en cuenta que
Por lo tanto, la expresión para la tensión de Cauchy se puede escribir como
Por un material incompresible y por lo tanto . Siguiendo a Ogden [1] p. 485, podemos escribir
Se requiere cierto cuidado en esta etapa porque, cuando se repite un valor propio, en general solo es diferenciable de Gateaux , pero no diferenciable de Fréchet . [8] [9] Una derivada tensorial rigurosa solo se puede encontrar resolviendo otro problema de valores propios.
Si expresamos el estrés en términos de diferencias entre componentes,
Si además de la incompresibilidad tenemos entonces una posible solución al problema requiere y podemos escribir las diferencias de estrés como
Para materiales hiperelásticos isotrópicos incompresibles , la función de densidad de energía de deformación es. La tensión de Cauchy viene dada por
dónde es una presión indeterminada. En términos de diferencias de estrés
Si además , luego
Si , luego
Consistencia con elasticidad lineal
La coherencia con la elasticidad lineal se utiliza a menudo para determinar algunos de los parámetros de los modelos de materiales hiperelásticos. Estas condiciones de consistencia se pueden encontrar comparando la ley de Hooke con hiperelasticidad linealizada en deformaciones pequeñas.
Condiciones de consistencia para modelos hiperelásticos isotrópicos
Para que los materiales hiperelásticos isotrópicos sean consistentes con la elasticidad lineal isotrópica , la relación tensión-deformación debe tener la siguiente forma en el límite de deformación infinitesimal :
dónde son las constantes de Lamé . La función de densidad de energía de deformación que corresponde a la relación anterior es [1]
Por un material incompresible y tenemos
Para cualquier función de densidad de energía de deformación para reducir a las formas anteriores para cepas pequeñas, deben cumplirse las siguientes condiciones [1]
Si el material es incompresible, las condiciones anteriores se pueden expresar de la siguiente forma.
Estas condiciones se pueden utilizar para encontrar relaciones entre los parámetros de un modelo hiperelástico dado y los módulos de corte y volumen.
Condiciones de coherencia para incompresible materiales a base de caucho
Muchos elastómeros se modelan adecuadamente mediante una función de densidad de energía de deformación que depende solo de . Para tales materiales tenemos. Las condiciones de consistencia para materiales incompresibles para entonces puede expresarse como
La segunda condición de consistencia anterior se puede derivar señalando que
Estas relaciones pueden luego sustituirse en la condición de consistencia para materiales hiperelásticos incompresibles isotrópicos.
Referencias
^ a b c d e R.W. Ogden, 1984, Deformaciones elásticas no lineales , ISBN 0-486-69648-0 , Dover.
^Muhr, AH (2005). "Modelado del comportamiento tensión-deformación del caucho". Química y tecnología del caucho . 78 (3): 391–425. doi : 10,5254 / 1,3547890 .
^Gao, H; Ma, X; Qi, N; Berry, C; Griffith, BE; Luo, X. "Un modelo de válvula mitral humana no lineal de cepa finita con interacción fluido-estructura" . Int J Numer Method Biomed Eng . 30 : 1597–613. doi : 10.1002 / cnm.2691 . PMC 4278556 . PMID 25319496 .
^Jia, F; Ben Amar, M; Billoud, B; Charrier, B. "Morfolasticidad en el desarrollo del alga parda Ectocarpus siliculosus : del redondeo celular a la ramificación" . Interfaz JR Soc . 14 : 20160596. doi : 10.1098 / rsif.2016.0596 . PMC 5332559 . PMID 28228537 .
^ Arruda, EM y Boyce, MC , 1993, Un modelo tridimensional para el comportamiento de gran estiramiento de materiales elásticos de caucho , J. Mech. Phys. Solids, 41 (2), págs. 389–412.
^ Buche, MR y Silberstein, MN, 2020, Teoría constitutiva mecánica estadística de las redes de polímeros: los vínculos inextricables entre distribución, comportamiento y conjunto. Phys. Rev. E, 102 (1), págs. 012501.
^ Y. Basar, 2000, Mecánica continua no lineal de sólidos, Springer, p. 157.
^ Fox y Kapoor, Tasas de cambio de autovalores y autovectores , AIAA Journal , 6 (12) 2426–2429 (1968)
^ Friswell MI. Las derivadas de valores propios repetidos y sus vectores propios asociados. Revista de Vibración y Acústica (ASME) 1996; 118: 390–397.