Para deformaciones infinitesimales de un cuerpo continuo , en el que el gradiente de desplazamiento (tensor de segundo orden) es pequeño en comparación con la unidad, es decir, es posible realizar una linealización geométrica de cualquiera de los (infinitos posibles) tensores de deformación utilizados en la teoría de deformaciones finitas, por ejemplo, el tensor de deformación de Lagrange, y el tensor de deformación euleriano . En tal linealización, se desprecian los términos no lineales o de segundo orden del tensor de deformación finita. Así tenemos
o
y
o
Esta linealización implica que la descripción lagrangiana y la descripción euleriana son aproximadamente iguales, ya que hay poca diferencia en las coordenadas materiales y espaciales de un punto material dado en el continuo. Por lo tanto, los componentes del gradiente de desplazamiento del material y los componentes del gradiente de desplazamiento espacial son aproximadamente iguales. Así tenemos
o dónde son los componentes del tensor de deformación infinitesimal , También llamado tensor de Cauchy cepa , tensor de deformación lineal , o pequeña tensor de deformación .
o usando una notación diferente:
Además, dado que el gradiente de deformación se puede expresar como dónde es el tensor de identidad de segundo orden, tenemos
Además, de la expresión general para los tensores de deformación finita lagrangianos y eulerianos tenemos
Derivación geométrica
Figura 1. Deformación geométrica bidimensional de un elemento material infinitesimal.
Considere una deformación bidimensional de un elemento de material rectangular infinitesimal con dimensiones por (Figura 1), que después de la deformación, toma la forma de un rombo. De la geometría de la Figura 1 tenemos
Para gradientes de desplazamiento muy pequeños, es decir, , tenemos
La tensión normal en el-la dirección del elemento rectangular está definida por
y sabiendo que , tenemos
Del mismo modo, la deformación normal en el -dirección, y-dirección, se convierte en
La deformación por corte de ingeniería , o el cambio de ángulo entre dos líneas de material originalmente ortogonales, en este caso línea y , Se define como
De la geometría de la Figura 1 tenemos
Para pequeñas rotaciones, es decir y están tenemos
y, nuevamente, para gradientes de desplazamiento pequeños, tenemos
por lo tanto
Intercambiando y y y , se puede demostrar que
Del mismo modo, para el - y - aviones, tenemos
Puede verse que los componentes de la deformación por cizallamiento tensorial del tensor de deformación infinitesimal se pueden expresar usando la definición de deformación de ingeniería, , como
Interpretación física
De la teoría de la deformación finita tenemos
Para cepas infinitesimales, tenemos
Dividiendo por tenemos
Para pequeñas deformaciones asumimos que , por lo que el segundo término del lado izquierdo se convierte en: .
Entonces nosotros tenemos
dónde , es el vector unitario en la dirección de , y la expresión del lado izquierdo es la tensión normal en la dirección de . Para el caso particular de en el dirección, es decir , tenemos
Del mismo modo, para y podemos encontrar las cepas normales y , respectivamente. Por lo tanto, los elementos diagonales del tensor de deformación infinitesimal son las deformaciones normales en las direcciones de coordenadas.
Reglas de transformación de deformaciones
Si elegimos un sistema de coordenadas ortonormal () podemos escribir el tensor en términos de componentes con respecto a esos vectores base como
En forma de matriz,
Podemos optar fácilmente por utilizar otro sistema de coordenadas ortonormal () en lugar de. En ese caso, los componentes del tensor son diferentes, digamos
Los componentes de la deformación en los dos sistemas de coordenadas están relacionados por
donde se ha utilizado la convención de suma de Einstein para índices repetidos y. En forma de matriz
o
Invariantes de deformación
Ciertas operaciones en el tensor de deformación dan el mismo resultado sin importar qué sistema de coordenadas ortonormal se utilice para representar los componentes de la deformación. Los resultados de estas operaciones se denominan invariantes de deformación . Los invariantes de cepa más comúnmente utilizados son
En términos de componentes
Cepas principales
Se puede demostrar que es posible encontrar un sistema de coordenadas () en el que los componentes del tensor de deformación son
Los componentes del tensor de deformación en el () sistema de coordenadas se denominan deformaciones principales y direccionesse denominan direcciones de deformación principal. Dado que no hay componentes de deformación cortante en este sistema de coordenadas, las deformaciones principales representan los tramos máximo y mínimo de un volumen elemental.
Si se nos dan los componentes del tensor de deformación en un sistema de coordenadas ortonormal arbitrario, podemos encontrar las deformaciones principales usando una descomposición de valores propios determinada resolviendo el sistema de ecuaciones
Este sistema de ecuaciones es equivalente a encontrar el vector a lo largo del cual el tensor de deformación se convierte en un tramo puro sin componente de cizallamiento.
Deformación volumétrica
La dilatación (la variación relativa del volumen) es la primera deformación invariante o traza del tensor:
En realidad, si consideramos un cubo con una longitud de arista a , es un cuasicubo después de la deformación (las variaciones de los ángulos no cambian el volumen) con las dimensionesy V 0 = a 3 , entonces
ya que consideramos pequeñas deformaciones,
de ahí la fórmula.
Variación real de volumen (arriba) y la aproximada (abajo): el dibujo verde muestra el volumen estimado y el dibujo naranja el volumen desatendido
En caso de corte puro, podemos ver que no hay cambio de volumen.
Tensor del desviador de deformación
El tensor de deformación infinitesimal , de manera similar al tensor de tensión de Cauchy , se puede expresar como la suma de otros dos tensores:
- un tensor de deformación media o un tensor de deformación volumétrica o un tensor de deformación esférica ,, relacionado con la dilatación o el cambio de volumen; y
- un componente desviador llamado tensor del desviador de deformación ,, relacionado con la distorsión.
dónde es la deformación media dada por
El tensor de deformación desviador se puede obtener restando el tensor de deformación medio del tensor de deformación infinitesimal:
Cepas octaédricas
Dejar () sean las direcciones de las tres cepas principales. Un plano octaédrico es aquel cuya normal forma ángulos iguales con las tres direcciones principales. La deformación por cizallamiento de ingeniería en un plano octaédrico se llama deformación por cizallamiento octaédrico y está dada por
dónde son las principales cepas. [ cita requerida ]
La deformación normal en un plano octaédrico está dada por
- [ cita requerida ]
Cepa equivalente
Una cantidad escalar llamada deformación equivalente , o deformación equivalente de von Mises , se utiliza a menudo para describir el estado de deformación en sólidos. En la bibliografía se pueden encontrar varias definiciones de cepa equivalente. Una definición que se usa comúnmente en la literatura sobre plasticidad es
Esta cantidad es trabajo conjugado al esfuerzo equivalente definido como
El tensor de deformación infinitesimal se define como
Por lo tanto, el gradiente de desplazamiento se puede expresar como
dónde
La cantidad es el tensor de rotación infinitesimal . Este tensor es simétrico sesgado . Para deformaciones infinitesimales, los componentes escalares de satisfacer la condición . Tenga en cuenta que el gradiente de desplazamiento es pequeño solo si tanto el tensor de deformación como el tensor de rotación son infinitesimales.
El vector axial
Un tensor de segundo orden simétrico sesgado tiene tres componentes escalares independientes. Estos tres componentes se utilizan para definir un vector axial ,, como sigue
dónde es el símbolo de permutación . En forma de matriz
El vector axial también se denomina vector de rotación infinitesimal . El vector de rotación está relacionado con el gradiente de desplazamiento por la relación
En notación de índice
Si y entonces el material experimenta una rotación de cuerpo rígida aproximada de magnitud alrededor del vector .
Relación entre el tensor de deformación y el vector de rotación
Dado un campo de desplazamiento continuo de un solo valor y el correspondiente tensor de deformación infinitesimal , tenemos (ver Derivada del tensor (mecánica del continuo) )
Dado que un cambio en el orden de diferenciación no cambia el resultado, . Por lo tanto
También
Por eso
Relación entre el tensor de rotación y el vector de rotación
A partir de una identidad importante con respecto a la curvatura de un tensor , sabemos que para un campo de desplazamiento continuo de un solo valor,
Desde tenemos