Índice de Cauchy

En análisis matemático , el índice de Cauchy es un número entero asociado a una función racional real durante un intervalo . Según el teorema de Routh-Hurwitz , tenemos la siguiente interpretación: el índice de Cauchy de

sobre la línea real es la diferencia entre el número de raíces de f ( z ) ubicadas en el semiplano derecho y las ubicadas en el semiplano izquierdo. El polinomio complejo f ( z ) es tal que

Reconocemos en p ( x ) y q ( x ), respectivamente, los polinomios de Chebyshev de grado 3 y 5. Por lo tanto, r ( x ) tiene polos , , , y , es decir, para . Podemos ver en la imagen que y . Para el polo en cero, tenemos ya que los límites izquierdo y derecho son iguales (lo cual se debe a que p ( x ) también tiene una raíz en cero). Concluimos que dado que q ( x${\ Displaystyle x_ {1} = 0,9511}$${\ Displaystyle x_ {2} = 0.5878}$${\ Displaystyle x_ {3} = 0}$${\ Displaystyle x_ {4} = - 0,5878}$${\ Displaystyle x_ {5} = - 0,9511}$${\ Displaystyle x_ {j} = \ cos ((2i-1) \ pi / 2n)}$${\ Displaystyle j = 1, ..., 5}$${\ Displaystyle I_ {x_ {1}} r = I_ {x_ {2}} r = 1}$${\ Displaystyle I_ {x_ {4}} r = I_ {x_ {5}} r = -1}$${\ Displaystyle I_ {x_ {3}} r = 0}$${\ Displaystyle I _ {- 1} ^ {1} r = 0 = I _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} r}$) tiene solo cinco raíces, todas en [−1,1]. No podemos usar aquí el teorema de Routh-Hurwitz ya que cada polinomio complejo con f ( iy ) =  q ( y ) +  ip ( y ) tiene un cero en la línea imaginaria (es decir, en el origen).

Una función racional