En matemáticas , el teorema de Routh-Hurwitz proporciona una prueba para determinar si todas las raíces de un polinomio dado se encuentran en el semiplano izquierdo. Los polinomios con esta propiedad se denominan polinomios estables de Hurwitz . El teorema de Routh-Hurwitz es importante en sistemas dinámicos y teoría de control , porque el polinomio característico de las ecuaciones diferenciales de un sistema lineal estable tiene raíces limitadas al semiplano izquierdo (valores propios negativos). Por tanto, el teorema proporciona una prueba para determinar si un sistema dinámico lineal es estable sin resolver el sistema.El teorema de Routh-Hurwitz se demostró en 1895 y recibió su nombre de Edward John Routh y Adolf Hurwitz .
Notaciones
Deje que f ( z ) un polinomio (con complejos coeficientes ) de grado n sin raíces en el eje imaginario (por ejemplo, la línea Z = ic donde i es la unidad imaginaria y c es un número real ). Definamos(un polinomio de grado n ) y(un polinomio distinto de cero de grado estrictamente menor que n ) por, respectivamente, las partes real e imaginaria de f en la línea imaginaria.
Además, denotemos por:
- p el número de raíces de f en el semiplano izquierdo (teniendo en cuenta las multiplicidades);
- q el número de raíces de f en el semiplano derecho (teniendo en cuenta las multiplicidades);
- la variación del argumento de f ( iy ) cuando y va de −∞ a + ∞;
- w ( x ) es el número de variaciones de la cadena de Sturm generalizada obtenida de y aplicando el algoritmo euclidiano ;
- es el índice de Cauchy de la función racional r sobre la línea real .
Declaración
Con las notaciones introducidas anteriormente, el teorema de Routh-Hurwitz establece que:
De la primera igualdad podemos, por ejemplo, concluir que cuando la variación del argumento de f ( iy ) es positiva, entonces f ( z ) tendrá más raíces a la izquierda del eje imaginario que a su derecha. La igualdad p - q = w (+ ∞) - w (−∞) puede verse como la contraparte compleja del teorema de Sturm . Tenga en cuenta las diferencias: en el teorema de Sturm, el miembro izquierdo es p + q y el w del miembro derecho es el número de variaciones de una cadena de Sturm (mientras que w se refiere a una cadena de Sturm generalizada en el presente teorema).
Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz
Podemos determinar fácilmente un criterio de estabilidad usando este teorema, ya que es trivial que f ( z ) sea estable en Hurwitz si f p - q = n . Obtenemos así las condiciones sobre los coeficientes de f ( z ) mediante la imposición de w (+ ∞) = n y w (-∞) = 0.
Referencias
- Routh, EJ (1877). Un tratado sobre la estabilidad de un estado de movimiento dado, particularmente el movimiento estable . Macmillan y compañía.
- Hurwitz, A. (1964). "Sobre las condiciones en las que una ecuación sólo tiene raíces con partes reales negativas". En Bellman, Richard ; Kalaba, Robert E. (eds.). Artículos seleccionados sobre tendencias matemáticas en la teoría del control . Nueva York: Dover.
- Gantmacher, FR (2005) [1959]. Aplicaciones de la Teoría de Matrices . Nueva York: Dover. págs. 226-233. ISBN 0-486-44554-2.
- Rahman, QI; Schmeisser, G. (2002). Teoría analítica de polinomios . Monografías de la Sociedad Matemática de Londres. Series nuevas. 26 . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 0-19-853493-0. Zbl 1072.30006 .