Teoría de la perturbación de la cavidad

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La teoría de la perturbación de la cavidad describe métodos para la derivación de fórmulas de perturbación para cambios de rendimiento de un resonador de cavidad.

Se supone que estos cambios de rendimiento se deben a la introducción de un pequeño objeto extraño en la cavidad o una pequeña deformación de su límite.

Se pueden utilizar varios métodos matemáticos para estudiar las características de las cavidades, que son importantes en el campo de los sistemas de microondas y, más en general, en el campo del electromagnetismo.

Existen muchas aplicaciones industriales para resonadores de cavidad, incluidos hornos microondas, sistemas de comunicación por microondas y sistemas de imágenes remotas que utilizan ondas electromagnéticas.

El rendimiento de una cavidad resonante puede afectar la cantidad de energía que se requiere para hacerla resonar, o la estabilidad o inestabilidad relativa del sistema.

Introducción

Cuando se perturba una cavidad resonante, por ejemplo, al introducir un objeto extraño con propiedades de material distintas en la cavidad o cuando la forma de la cavidad cambia ligeramente, los campos electromagnéticos dentro de la cavidad cambian en consecuencia. Esto significa que todos los modos resonantes (es decir, el modo cuasinormal ) de la cavidad no perturbada cambian ligeramente. La predicción analítica de cómo la perturbación cambia la respuesta óptica es un problema clásico en electromagnetismo, con importantes implicaciones que van desde el dominio de la radiofrecuencia hasta la nanoóptica actual. La suposición subyacente de la teoría de la perturbación de la cavidad es que los campos electromagnéticos dentro de la cavidad después del cambio difieren en una cantidad muy pequeña de los campos antes del cambio. Entonces las ecuaciones de Maxwellpara cavidades originales y perturbadas se puede utilizar para derivar expresiones analíticas para el cambio de frecuencia resonante resultante y el cambio de ancho de línea (o cambio del factor Q ) haciendo referencia solo al modo original no perturbado (no al perturbado).

Teoría general

Es conveniente denotar frecuencias de cavidad con un número complejo , donde es la frecuencia de resonancia angular y es la inversa de la vida útil del modo. La teoría de la perturbación de la cavidad ha sido propuesta inicialmente por Bethe-Schwinger en óptica ^[1] y Waldron en el dominio de radiofrecuencia. ^[2] Estos enfoques iniciales se basan en fórmulas que consideran la energía almacenada ${\displaystyle {\tilde {\omega }}=\omega -i\gamma /2}$${\displaystyle \omega =Re({\tilde {\omega }})}$${\displaystyle \gamma =2Im({\tilde {\omega }})}$

${\displaystyle {\frac {{\tilde {\omega }}-{\tilde {\omega }}_{0}}{{\tilde {\omega }}_{0}}}\thickapprox -{\frac {\iiint _{V}(\mu _{0}|H_{0}|^{2}+\Delta \epsilon |E_{0}|^{2})dv}{\iiint _{V}(\mu _{0}|H_{0}|^{2}+\epsilon |E_{0}|^{2})dv}}\,}$

( 1 )

donde y son las frecuencias complejas de los modos de cavidad perturbado y no perturbado, y y son los campos electromagnéticos del modo no perturbado (el cambio de permeabilidad no se considera por simplicidad). La expresión ( 1 ) se basa en consideraciones de energía almacenada. Estos últimos son intuitivos ya que el sentido común dicta que el cambio máximo en la frecuencia de resonancia ocurre cuando la perturbación se coloca en el máximo de intensidad del modo de cavidad. Sin embargo, la consideración de la energía en el electromagnetismo solo es válida para los sistemas hermitianos para los que se conserva la energía. Para las cavidades, la energía se conserva solo en el límite de una fuga muy pequeña (Q infinitos), de modo que Expresión ( 1${\displaystyle {\tilde {\omega }}}$${\displaystyle {\tilde {\omega }}_{0}}$${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle E_{0}}$) solo es válido en este límite. Por ejemplo, es evidente que la expresión ( 1 ) predice un cambio del factor Q ( ) solo si es complejo, es decir, solo si el perturbador es absorbente. Claramente, este no es el caso y es bien sabido que una perturbación dieléctrica puede aumentar o disminuir el factor Q.${\displaystyle Im({\tilde {\omega }}-{\tilde {\omega }}_{0})}$${\displaystyle \Delta \epsilon }$

El problema surge del hecho de que una cavidad es un sistema abierto no hermitiano con fugas y absorción. La teoría de los sistemas electromagnéticos no hermitianos abandona la energía, es decir, los productos, y se centra más bien en productos ^[3] que son cantidades complejas, estando la parte imaginaria relacionada con la fuga. Para enfatizar la diferencia entre los modos normales de los sistemas hermitianos y los modos de resonancia de los sistemas con fugas, los modos de resonancia a menudo se denominan modo cuasinormal . En este marco, el cambio de frecuencia y el cambio de Q son predichos por${\displaystyle |E.E|}$${\displaystyle E.E}$

${\displaystyle {\frac {{\tilde {\omega }}-{\tilde {\omega }}_{0}}{{\tilde {\omega }}_{0}}}\thickapprox -{\frac {\iiint _{V}(\mu _{0}H_{0}^{2}+\Delta \epsilon E_{0}^{2})dv}{\iiint _{V}(\mu _{0}H_{0}^{2}+\epsilon E_{0}^{2})dv}}\,}$

( 2 )

La precisión de la ecuación seminal 2 se ha verificado en una variedad de geometrías complicadas. Para las cavidades de bajo Q, como los nanoresonadores plasmónicos que se utilizan para la detección, se ha demostrado que la ecuación 2 predice tanto el desplazamiento como la ampliación de la resonancia con una alta precisión, mientras que la ecuación 1 predice ambos de manera inexacta. ^[4] Para cavidades fotónicas de alta Q, como cavidades de cristales fotónicos o microesferas, los experimentos han demostrado que la ecuación 2 predice con precisión tanto el desplazamiento como el cambio de Q, mientras que la ecuación 1 solo predice el desplazamiento. ^[5] Lo siguiente está escrito con${\displaystyle |E.E|}$productos, pero se entendería mejor con productos de la teoría del modo cuasinormal .${\displaystyle E.E}$

Perturbación material

Perturbación del material de la cavidad

Cuando se cambia un material dentro de una cavidad ( permitividad y / o permeabilidad ), un cambio correspondiente en la frecuencia de resonancia se puede aproximar como: ^[6]

${\displaystyle {\frac {\omega -\omega _{0}}{\omega _{0}}}\thickapprox -{\frac {\iiint _{V}(\Delta \mu |H_{0}|^{2}+\Delta \epsilon |E_{0}|^{2})dv}{\iiint _{V}(\mu |H_{0}|^{2}+\epsilon |E_{0}|^{2})dv}}\,}$

( 3 )

donde es la frecuencia de resonancia angular de la cavidad perturbada, es la frecuencia de resonancia de la cavidad original, y representan el campo eléctrico y magnético original respectivamente, y son la permeabilidad y la permitividad originales respectivamente, mientras que y son los cambios en la permeabilidad y la permitividad originales introducidos por el cambio de material .${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle E_{0}}$${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \Delta \mu }$${\displaystyle \Delta \epsilon }$

La expresión ( 3 ) se puede reescribir en términos de energías almacenadas como: ^[7]

${\displaystyle {\frac {\omega -\omega _{0}}{\omega _{0}}}\thickapprox -{\frac {1}{W}}\iiint _{V}({\frac {\Delta \epsilon }{\epsilon }}\cdot {\bar {w_{e}}}+{\frac {\Delta \mu }{\mu }}\cdot {\bar {w_{m}}})dv\,}$

( 4 )

donde W es la energía total almacenada en la cavidad original y y son las densidades de energía eléctrica y magnética, respectivamente.${\displaystyle {\bar {w_{e}}}}$${\displaystyle {\bar {w_{m}}}}$

Perturbación de forma

Perturbación de la forma de la cavidad

Cuando se cambia la forma general de una cavidad resonante, un cambio correspondiente en la frecuencia resonante se puede aproximar como: ^[6]

${\displaystyle {\frac {\omega -\omega _{0}}{\omega _{0}}}\thickapprox {\frac {\iiint _{\Delta V}(\mu |H_{0}|^{2}-\epsilon |E_{0}|^{2})dv}{\iiint _{V}(\mu |H_{0}|^{2}+\epsilon |E_{0}|^{2})dv}}\,}$

( 5 )

La expresión ( 5 ) para el cambio en la frecuencia resonante se puede escribir adicionalmente en términos de energías almacenadas promedio en el tiempo como: ^[6]

${\displaystyle {\frac {\omega -\omega _{0}}{\omega _{0}}}\thickapprox {\frac {\Delta W_{m}-\Delta W_{e}}{W_{m}+W_{e}}}\,}$

( 6 )

donde y representan energías eléctricas y magnéticas promedio en el tiempo contenidas en .${\displaystyle \Delta W_{m}}$${\displaystyle \Delta W_{e}}$${\displaystyle \Delta V}$

Esta expresión también se puede escribir en términos de densidades de energía ^[7] como:

${\displaystyle {\frac {\omega -\omega _{0}}{\omega _{0}}}\thickapprox {\frac {({\bar {w_{m}}}-{\bar {w_{e}}})\cdot \Delta V}{W}}\,}$

( 7 )

Se pueden obtener mejoras considerables en la precisión de la fuerza predictiva de la ecuación ( 5 ) incorporando correcciones de campo local, ^[4] que simplemente resultan de las condiciones de interfaz para campos electromagnéticos que son diferentes para los vectores de campo de desplazamiento y de campo eléctrico en la forma. límites.

Aplicaciones

Las técnicas de medición de microondas basadas en la teoría de la perturbación de la cavidad se utilizan generalmente para determinar los parámetros dieléctricos y magnéticos de los materiales y varios componentes del circuito, como los resonadores dieléctricos . Dado que el conocimiento previo de la frecuencia resonante, el cambio de frecuencia resonante y los campos electromagnéticos es necesario para extrapolar las propiedades del material, estas técnicas de medición generalmente hacen uso de cavidades resonantes estándar donde las frecuencias resonantes y los campos electromagnéticos son bien conocidos. Dos ejemplos de tales cavidades resonantes estándar son cavidades de guía de ondas rectangulares y circulares y cables coaxialesresonadores. Las técnicas de medición de perturbaciones de cavidades para la caracterización de materiales se utilizan en muchos campos que van desde la física y la ciencia de los materiales hasta la medicina y la biología. ^{[8] [9] [10] [11] [12] [13]}

Ejemplos de

${\displaystyle TE_{10n}}$ cavidad de guía de ondas rectangular

Muestra de material introducida en la cavidad de la guía de ondas rectangular.

Para la cavidad de la guía de ondas rectangular, la distribución de campo del modo dominante es bien conocida. Idealmente, el material a medir se introduce en la cavidad en la posición de máximo campo eléctrico o magnético. Cuando el material se introduce en la posición de campo eléctrico máximo, la contribución del campo magnético al cambio de frecuencia perturbado es muy pequeña y puede ignorarse. En este caso, podemos usar la teoría de la perturbación para derivar expresiones para componentes reales e imaginarios de permitividad de material compleja como: ^[7] T E 10 n {\displaystyle TE_{10n}} ${\displaystyle \epsilon _{r}=\epsilon _{r}'+j\epsilon _{r}''}$

${\displaystyle \epsilon _{r}'-1={\frac {f_{c}-f_{s}}{2f_{s}}}{\frac {V_{c}}{V_{s}}}\,}$

( 8 )

${\displaystyle \epsilon _{r}''={\frac {V_{c}}{4V_{s}}}{\frac {Q_{c}-Q_{s}}{Q_{c}Q_{s}}}\,}$

( 9 )

donde y representan frecuencias resonantes de cavidad original y cavidad perturbada respectivamente, y representan volúmenes de cavidad original y muestra de material respectivamente, y representan factores de calidad de cavidades originales y perturbadas respectivamente.${\displaystyle f_{c}}$${\displaystyle f_{s}}$${\displaystyle V_{c}}$${\displaystyle V_{s}}$${\displaystyle Q_{c}}$${\displaystyle Q_{s}}$

Una vez que se conoce la permitividad compleja del material, podemos calcular fácilmente su conductividad efectiva y tangente de pérdida dieléctrica como: ^[7]${\displaystyle \sigma _{e}}$ ${\displaystyle \tan \delta }$

${\displaystyle \sigma _{e}=\omega \epsilon ''=2\pi f\epsilon _{0}\epsilon _{r}''\,}$

( 10 )

${\displaystyle tan\delta ={\frac {\epsilon _{r}''}{\epsilon _{r}'}}\,}$

( 11 )

donde f es la frecuencia de interés y es la permitividad del espacio libre.${\displaystyle \epsilon _{0}}$

De manera similar, si el material se introduce en la cavidad en la posición de campo magnético máximo, entonces la contribución del campo eléctrico al cambio de frecuencia perturbado es muy pequeña y puede ignorarse. En este caso, podemos usar la teoría de la perturbación para derivar expresiones para la permeabilidad del material complejo como: ^[7]${\displaystyle \mu _{r}=\mu _{r}'+j\mu _{r}''}$

${\displaystyle \mu _{r}'-1=({\frac {\lambda _{g}^{2}+4a^{2}}{8a^{2}}})({\frac {f_{c}-f_{s}}{f_{s}}})({\frac {V_{c}}{V_{s}}})\,}$

( 12 )

${\displaystyle \mu _{r}''=({\frac {\lambda _{g}^{2}+4a^{2}}{16a^{2}}})({\frac {V_{c}}{V_{s}}})({\frac {Q_{c}-Q_{s}}{Q_{c}Q_{s}}})\,}$

( 13 )

donde es la longitud de onda guía (calculada como ).${\displaystyle \lambda _{g}}$${\displaystyle \lambda _{g}={\frac {2l}{n}}}$

Referencias

1. Bethe, HA; Schwinger, J. (2018). "Teoría de la perturbación de las caries". NDRC RPT. D1-117 Universidad de Cornell . 12 : 1700113. arXiv : 1705.02433 . doi : 10.1002 / lpor.201700113 . S2CID  51695476 .
2. Waldron, RA (septiembre de 1960). "Teoría de la perturbación de las cavidades resonantes" . Proc. Inst. Electr. Ing . 107 (C): 272–274. doi : 10.1049 / pi-c.1960.0041 .
3. Lalanne, P .; Yan, W .; Vynck, K .; Sauvan, C .; Hugonin, J.-P. (17 de abril de 2018). "Interacción de la luz con resonancias fotónicas y plasmónicas". Reseñas de láser y fotónica . 12 (5): 1700113. arXiv : 1705.02433 . Código Bibliográfico : 2018LPRv ... 1200113L . doi : 10.1002 / lpor.201700113 . S2CID 51695476 . 
4. Yang, J .; Giessen, H .; Lalanne, P. (6 de abril de 2015). "Expresión analítica simple para los cambios de frecuencia de pico de resonancias plasmónicas para la detección". Nano Letras . 15 (5): 3439–3444. arXiv : 1505.04877 . Código bibliográfico : 2015NanoL..15.3439Y . doi : 10.1021 / acs.nanolett.5b00771 . PMID 25844813 . S2CID 11999899 .  
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6. David Pozar , Ingeniería de microondas, 2da edición, Wiley, Nueva York, NY, 1998.
7. Mathew, KT 2005. Teoría de la perturbación. Enciclopedia de ingeniería de RF y microondas
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