Reflexión puntual
En geometría , una reflexión o inversión puntual en un punto (o inversión a través de un punto , o inversión central ) es un tipo de isometría del espacio euclidiano . Se dice que un objeto que es invariante bajo una reflexión puntual posee simetría puntual ; si es invariante bajo la reflexión puntual a través de su centro, se dice que posee simetría central o que es centralmente simétrica .
La reflexión puntual se puede clasificar como una transformación afín . Es decir, es una transformación afín involutiva isométrica , que tiene exactamente un punto fijo , que es el punto de inversión. Es equivalente a una transformación homotética con factor de escala igual a -1. El punto de inversión también se llama centro homotético .
El término reflexión es impreciso y algunos lo consideran un abuso del lenguaje, prefiriendo la inversión ; sin embargo, la reflexión puntual se usa ampliamente. Dichos mapas son involuciones , lo que significa que tienen orden 2, son su propio inverso: aplicarlos dos veces produce el mapa de identidad , lo que también es cierto para otros mapas llamados reflejos . Más estrictamente, una reflexión se refiere a una reflexión en un hiperplano ( subespacio afín dimensional : un punto en la línea , una línea en el plano , un plano en el espacio tridimensional ), con el hiperplano fijo, pero de manera más ampliala reflexión se aplica a cualquier involución del espacio euclidiano, y el conjunto fijo (un espacio afín de dimensión k , donde ) se llama espejo . En la dimensión 1 estos coinciden, ya que un punto es un hiperplano en la línea.
En términos de álgebra lineal, asumiendo que el origen es fijo, las involuciones son exactamente los mapas diagonalizables con todos los valores propios 1 o -1. La reflexión en un hiperplano tiene un solo valor propio -1 (y multiplicidad en el valor propio 1), mientras que la reflexión puntual tiene solo el valor propio -1 (con multiplicidad n ).
El término inversión no debe confundirse con geometría inversa , donde la inversión se define con respecto a un círculo.
En dos dimensiones, una reflexión puntual es lo mismo que una rotación de 180 grados. En tres dimensiones, una reflexión puntual se puede describir como una rotación de 180 grados compuesta por una reflexión a través de un plano perpendicular al eje de rotación. En la dimensión n , las reflexiones puntuales conservan la orientación si n es par, y la orientación se invierte si n es impar.
