En geometría , un centro homotético (también llamado centro de similitud o centro de similitud ) es un punto desde el cual al menos dos figuras geométricamente similares pueden verse como una dilatación o contracción una de la otra. Si el centro es externo , las dos figuras son directamente similares entre sí; sus ángulos tienen el mismo sentido de rotación. Si el centro es interno , las dos figuras son imágenes especulares escaladas una de la otra; sus ángulos tienen el sentido opuesto.
Polígonos generales
Si dos figuras geométricas poseen un centro homotético, son similares entre sí; en otras palabras, deben tener los mismos ángulos en los puntos correspondientes y diferir solo en su escala relativa. No es necesario que el centro homotético y las dos figuras se encuentren en el mismo plano; pueden relacionarse mediante una proyección desde el centro homotético.
Los centros homotéticos pueden ser externos o internos. Si el centro es interno, las dos figuras geométricas son imágenes especulares escaladas una de la otra; en lenguaje técnico, tienen quiralidad opuesta . Un ángulo en sentido horario en una figura correspondería a un ángulo en sentido antihorario en la otra. Por el contrario, si el centro es externo, las dos figuras son directamente similares entre sí; sus ángulos tienen el mismo sentido.
Círculos
Los círculos son geométricamente similares entre sí y simétricos en espejo. Por tanto, un par de círculos tiene ambos tipos de centros homotéticos, internos y externos, a menos que los centros sean iguales o los radios sean iguales; estos casos excepcionales se tratan después de la posición general . Estos dos centros homotéticos se encuentran en la línea que une los centros de los dos círculos dados, que se llama línea de centros (Figura 3). También se pueden incluir círculos con radio cero (ver casos excepcionales), y también se puede utilizar radio negativo, conmutando externo e interno.
Computación de centros homotéticos
Para un par de círculos dado, los centros homotéticos internos y externos pueden encontrarse de varias formas. En geometría analítica , el centro homotético interno es el promedio ponderado de los centros de los círculos, ponderado por el radio del círculo opuesto; la distancia desde el centro del círculo hasta el centro interno es proporcional a ese radio, por lo que la ponderación es proporcional al radio opuesto . Denotando los centros de los círculos. y por y y sus radios por y y denotando el centro por esto es:
El centro externo se puede calcular mediante la misma ecuación, pero considerando uno de los radios como negativo; cualquiera de los dos produce la misma ecuación, que es:
De manera más general, al tomar ambos radios con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos) se obtiene el centro interno, mientras que al tomar los radios con signos opuestos (uno positivo y otro negativo) se obtiene el centro externo. Tenga en cuenta que la ecuación para el centro interno es válida para cualquier valor (a menos que ambos radios cero o uno sea el negativo del otro), pero la ecuación para el centro externo requiere que los radios sean diferentes; de lo contrario, implica la división por cero.
En geometría sintética , se dibujan dos diámetros paralelos, uno para cada círculo; estos forman el mismo ángulo α con la línea de centros. Las líneas A 1 A 2 y B 1 B 2 trazadas a través de los puntos extremos correspondientes de esos radios, que son puntos homólogos, se cruzan entre sí y la línea de centros en el centro homotético externo . Por el contrario, las líneas A 1 B 2 y B 1 A 2 trazadas a través de un punto final y el punto final opuesto de su contraparte se cruzan entre sí y la línea de centros en el centro homotético interno .
Como caso límite de esta construcción, una línea tangente a ambos círculos (una línea bitangente) pasa por uno de los centros homotéticos, ya que forma ángulos rectos con ambos diámetros correspondientes, que son por tanto paralelos; consulte las líneas tangentes a dos círculos para obtener más detalles. Si los círculos caen en lados opuestos de la línea, pasa a través del centro homotético interno, como en A 2 B 1 en la figura anterior. Por el contrario, si los círculos caen del mismo lado de la línea, pasa por el centro homotético externo (no se muestra en la imagen).
Casos especiales
Si los círculos tienen el mismo radio (pero diferentes centros), no tienen un centro homotético externo en el plano afín : en geometría analítica esto da como resultado una división por cero, mientras que en geometría sintética las líneas y son paralelas a la línea de centros (tanto para las líneas secantes como para las bitangentes) y, por lo tanto, no tienen intersección. Un centro externo se puede definir en el plano proyectivo como el punto en el infinito correspondiente a la pendiente de esta línea. Este es también el límite del centro externo si los centros de los círculos son fijos y los radios se varían hasta que sean iguales.
Si los círculos tienen el mismo centro pero diferentes radios, tanto el externo como el interno coinciden con el centro común de los círculos. Esto se puede ver en la fórmula analítica, y también es el límite de los dos centros homotéticos ya que los centros de los dos círculos se varían hasta que coinciden, manteniendo iguales los radios. Sin embargo, no hay una línea de centros y la construcción sintética falla cuando las dos líneas paralelas coinciden.
Si un radio es cero pero el otro no es cero (un punto y un círculo), tanto el centro externo como el interno coinciden con el punto (centro del círculo de radio cero).
Si los dos círculos son idénticos (mismo centro, mismo radio), el centro interno es su centro común, pero no hay un centro externo bien definido; correctamente, la función del espacio de parámetros de dos círculos en el plano al centro externo tiene una discontinuidad no removible en el lugar geométrico de círculos idénticos. En el límite de dos círculos con el mismo radio pero centros distintos que se mueven para tener el mismo centro, el centro externo es el punto en el infinito correspondiente a la pendiente de la línea de centros, que puede ser cualquier cosa, por lo que no existe límite para todos los posibles. pares de tales círculos.
Por el contrario, si ambos radios son cero (dos puntos) pero los puntos son distintos, el centro externo se puede definir como el punto en el infinito correspondiente a la pendiente de la línea de centros, pero no hay un centro interno bien definido.
Puntos homólogos y antihomólogos
En general, un rayo que emana de un centro homotético intersecará cada uno de sus círculos en dos lugares. De estos cuatro puntos, se dice que dos son homólogos si los radios dibujados en ellos forman el mismo ángulo con la línea que conecta los centros, por ejemplo, los puntos Q y Q ′ en la Figura 4. Puntos que son colineales con respecto al centro homotético pero no son homólogos se dice que son antihomólogos , [1] por ejemplo, los puntos Q y P ′ en la Figura 4.
Pares de puntos antihomólogos se encuentran en un círculo
Cuando dos rayos del mismo centro homotético se cruzan con los círculos, cada conjunto de puntos antihomólogos se encuentra en un círculo.
Considere los triángulos EQS y EQ′S ′ (Figura 4).
Son similares porque ambos comparten el ángulo ∠QES = ∠Q′ES ′ yya que E es el centro homotético. De esa similitud se deduce que ∠ESQ = ∠ES′Q ′ = α . Debido al teorema del ángulo inscrito ∠EP′R ′ = ∠ES′Q ′ . ∠QSR ′ = 180 ° -α ya que es complementario a ∠ESQ . En el cuadrilátero QSR′P ′ ∠QSR ′ + ∠QP′R ′ = 180 ° -α + α = 180 ° lo que significa que se puede inscribir en un círculo . Del teorema de la secante se deduce que EQ · EP ′ = ES · ER ′.
De la misma manera se puede demostrar que PRS′Q ′ se puede inscribir en un círculo y EP · EQ ′ = ER · ES ′.
La prueba es similar para el centro de homotecia interna I .
PIR ~ P′IR ′ entonces ∠RPI = ∠IP′R ′ = α . ∠RS′Q ′ = ∠PP′R ′ = α (teorema del ángulo inscrito). El segmento RQ ′ se ve en el mismo ángulo que P y S ′, lo que significa que R, P, S ′ y Q ′ se encuentran en un círculo. Luego, a partir del teorema de los acordes que se cruzan, IP · IQ ′ = IR · IS ′. De manera similar, QSP′R ′ se puede inscribir en un círculo y IQ · IP ′ = IS · IR ′.
Relación con el eje radical
Dos círculos tienen un eje radical , que es la línea de puntos desde la cual las tangentes a ambos círculos tienen la misma longitud. De manera más general, cada punto del eje radical tiene la propiedad de que sus potencias relativas a los círculos son iguales. El eje radical siempre es perpendicular a la línea de centros, y si dos círculos se cruzan, su eje radical es la línea que une sus puntos de intersección. Para tres círculos, se pueden definir tres ejes radicales, uno para cada par de círculos ( C 1 / C 2 , C 1 / C 3 y C 2 / C 3 ); sorprendentemente, estos tres ejes radicales se cruzan en un solo punto, el centro radical . Las tangentes dibujadas desde el centro radical hasta los tres círculos tendrían la misma longitud.
Se pueden usar dos pares de puntos antihomólogos cualesquiera para encontrar un punto en el eje del radical. Considere los dos rayos que emanan del centro homotético externo E en la Figura 4. Estos rayos cortan los dos círculos dados (verde y azul en la Figura 4) en dos pares de puntos antihomólogos, Q y P ′ para el primer rayo, y S y R ′ Para el segundo rayo. Estos cuatro puntos se encuentran en un solo círculo, que cruza ambos círculos dados. Por definición, la línea QS es el eje radical del nuevo círculo con el círculo verde dado, mientras que la línea P′R ′ es el eje radical del nuevo círculo con el círculo azul dado. Estas dos líneas se cruzan en el punto G , que es el centro radical del nuevo círculo y los dos círculos dados. Por lo tanto, el punto G también se encuentra en el eje radical de los dos círculos dados.
Círculos tangentes y puntos antihomólogos
Para cada par de puntos antihomólogos de dos círculos existe un tercer círculo que es tangente a los dados y los toca en los puntos antihomólogos.
Lo contrario también es cierto: cada círculo que es tangente a otros dos círculos los toca en un par de puntos antihomólogos.
Dejemos que nuestros dos círculos tengan centros O 1 y O 2 (Figura 5). E es su centro homotético externo. Construimos un rayo arbitrario desde E que interseca los dos círculos en P, Q, P ′ y Q ′ . Extienda O 1 Q y O 2 P ′ hasta que se crucen en T 1 . Se prueba fácilmente que los triángulos O 1 PQ y O 2 P′Q ′ son similares debido a la homotecia . También son isósceles porque O 1 P = O 1 Q ( radio ), por lo tanto ∠O 1 PQ = ∠O 1 QP = ∠O 2 P′Q ′ = ∠O 2 Q′P ′ = ∠T 1 QP ′ = ∠ T 1 P′Q . Por lo tanto T 1 P'Q también es isósceles y un círculo puede ser construido con centro T 1 y el radio T 1 P '= T 1 Q . Este círculo es tangente a los dos círculos dados en los puntos Q y P ′ .
La prueba para el otro par de puntos antihomólogos ( P y Q ′ ), así como en el caso del centro homotético interno, es análoga.
Si construimos los círculos tangentes para cada posible par de puntos antihomólogos, obtenemos dos familias de círculos, una para cada centro homotético. La familia de círculos del centro homotético externo es tal que cada círculo tangente contiene ambos círculos dados o ninguno (Figura 6). Por otro lado, los círculos de la otra familia siempre contienen solo uno de los círculos dados (Figura 7).
Todos los círculos de una familia tangente tienen un centro radical común y coincide con el centro homotético.
Para mostrar esto, considere dos rayos del centro homotético, que cruzan los círculos dados (Figura 8). Existen dos círculos tangentes T 1 y T 2 que tocan los círculos dados en los puntos antihomólogos. Como ya hemos mostrado, estos puntos se encuentran en un círculo C y, por lo tanto, los dos rayos son ejes radicales para C / T 1 y C / T 2 . Entonces, el punto de intersección de los dos ejes radicales también debe pertenecer al eje radical de T 1 / T 2 . Este punto de intersección es el centro de homotecia E .
Si los dos círculos tangentes tocan pares colineales de puntos antihomólogos, como en la Figura 5, entonces debido a la homotecia. Por lo tanto, las potencias de E con respecto a los dos círculos tangentes son iguales, lo que significa que E pertenece al eje radical.
Centros homotéticos de tres círculos.
Cualquier par de círculos tiene dos centros de similitud, por lo tanto, tres círculos tendrían seis centros de similitud, dos por cada par distinto de círculos dados. Sorprendentemente, estos seis puntos se encuentran en cuatro líneas, tres puntos en cada línea. Aquí hay una forma de mostrar esto.
Considere el plano de los tres círculos (Figura 9). Desplace cada punto central perpendicularmente al plano en una distancia igual al radio correspondiente. Los centros se pueden desplazar a cualquier lado del plano. Los tres puntos de desplazamiento definen un solo plano. En ese plano construimos tres líneas a través de cada par de puntos. Las líneas atraviesan el plano de círculos en los puntos H AB , H BC y H AC . Dado que el lugar geométrico de los puntos que son comunes a dos planos distintos y no paralelos es una línea, entonces necesariamente estos tres puntos se encuentran en dicha línea. De la similitud de los triángulos H AB AA ′ y H AB BB ′ vemos que( r A, siendo B los radios de los círculos) y así H AB es de hecho el centro homotético de los dos círculos correspondientes. Podemos hacer lo mismo para H BC y H AC .
Repetir el procedimiento anterior para diferentes combinaciones de centros homotéticos (en nuestro método, esto está determinado por el lado al que compensamos los centros de los círculos) daría un total de cuatro líneas, tres centros homotéticos en cada línea (Figura 10).
Aquí hay otra forma de probar esto.
Sean C 1 y C 2 un par conjugado de círculos tangentes a los tres círculos dados (Figura 11). Por conjugado damos a entender que ambos círculos tangentes pertenecen a la misma familia con respecto a cualquiera de los pares de círculos dados. Como ya hemos visto, el eje radical de cualesquiera dos círculos tangentes de la misma familia pasa por el centro homotético de los dos círculos dados. Dado que los círculos tangentes son comunes para los tres pares de círculos dados, todos sus centros homotéticos pertenecen al eje radical de C 1 y C 2 , por ejemplo, se encuentran en una sola línea.
Esta propiedad se explota en la solución general de Joseph Diaz Gergonne al problema de Apolonio . Dados los tres círculos, se pueden encontrar los centros homotéticos y, por lo tanto, el eje radical de un par de círculos solución. Por supuesto, hay infinitos círculos con el mismo eje radical, por lo que se realiza un trabajo adicional para averiguar exactamente qué dos círculos son la solución.
Ver también
Referencias
- ^ Weisstein, Eric W., Puntos antihomólogos , MathWorld: un recurso web de Wolfram
- Johnson RA (1960). Geometría euclidiana avanzada: un tratado elemental sobre la geometría del triángulo y el círculo . Nueva York: Publicaciones de Dover.
- Kunkel, Paul (2007), "El problema de tangencia de Apolonio: tres miradas" (PDF) , BSHM Bulletin : Journal of the British Society for the History of Mathematics , 22 (1): 34–46, doi : 10.1080 / 17498430601148911