Distribución de Champernowne

En estadística , la distribución de Champernowne es una distribución de probabilidad simétrica y continua que describe variables aleatorias que toman valores tanto positivos como negativos. Es una generalización de la distribución logística que fue introducida por DG Champernowne . ^{[1] [2] [3]} Champernowne desarrolló la distribución para describir el logaritmo del ingreso. ^[2]

Definición

La distribución de Champernowne tiene una función de densidad de probabilidad dada por

${\displaystyle f(y;\alpha ,\lambda ,y_{0})={\frac {n}{\cosh[\alpha (y-y_{0})]+\lambda }},\qquad -\infty <y<\infty ,}$

donde son parámetros positivos yn es la constante de normalización, que depende de los parámetros. La densidad se puede reescribir como${\displaystyle \alpha ,\lambda ,y_{0}}$

${\displaystyle f(y)={\frac {n}{1/2e^{\alpha (y-y_{0})}+\lambda +1/2e^{-\alpha (y-y_{0})}}},}$

usando el hecho de que ${\displaystyle \cosh y=(e^{y}+e^{-y})/2.}$

Propiedades

La densidad f ( y ) define una distribución simétrica con mediana y ₀ , que tiene colas algo más pesadas que una distribución normal.

Casos especiales

En el caso especial es la densidad de Burr Tipo XII .${\displaystyle \lambda =1}$

cuando , ${\displaystyle y_{0}=0,\alpha =1,\lambda =1}$

${\displaystyle f(y)={\frac {1}{e^{y}+2+e^{-y}}}={\frac {e^{y}}{(1+e^{y})^{2}}},}$

que es la densidad de la distribución logística estándar .

Distribución de los ingresos

Si la distribución de Y , el logaritmo del ingreso, tiene una distribución de Champernowne, entonces la función de densidad del ingreso X  = exp ( Y ) es ^[1]

${\displaystyle f(x)={\frac {n}{x[1/2(x/x_{0})^{-\alpha }+\lambda +a/2(x/x_{0})^{\alpha }]}},\qquad x>0,}$

donde x ₀ = exp ( y ₀ ) es el ingreso medio. Si λ = 1, esta distribución a menudo se llama distribución de Fisk , ^[4] que tiene densidad

${\displaystyle f(x)={\frac {\alpha x^{\alpha -1}}{x_{0}^{\alpha }[1+(x/x_{0})^{\alpha }]^{2}}},\qquad x>0.}$

Ver también

• Distribución logística generalizada

Referencias

1. C. Kleiber y S. Kotz (2003). Distribuciones de tamaño estadístico en economía y ciencias actuariales . Nueva York: Wiley. Sección 7.3 "Distribución de Champernowne".
2. Champernowne, DG (1952). "La graduación de distribuciones de ingresos". Econometrica . 20 : 591–614. doi : 10.2307 / 1907644 . JSTOR 1907644 . 
3. Champernowne, DG (1953). "Un modelo de distribución de la renta". The Economic Journal . 63 (250): 318–351. doi : 10.2307 / 2227127 . JSTOR 2227127 . 
4. Fisk, PR (1961). "La graduación de distribuciones de ingresos". Econometrica . 29 : 171-185. doi : 10.2307 / 1909287 .