El término distribución logística generalizada se usa como el nombre de varias familias diferentes de distribuciones de probabilidad . Por ejemplo, Johnson et al. [1] enumere cuatro formularios, que se enumeran a continuación. Una familia descrita aquí también se ha llamado distribución logística sesgada . Para otras familias de distribuciones que también se han denominado distribuciones logísticas generalizadas, consulte la distribución log-logística desplazada , que es una generalización de la distribución log-logística ; y la distribución metalog ("metalogística") , que es muy flexible en formas y límites y puede ajustarse a datos con mínimos cuadrados lineales.
Las siguientes definiciones son para versiones estandarizadas de las familias, que se pueden expandir a la forma completa como una familia de escala de ubicación . Cada uno se define utilizando la función de distribución acumulativa ( F ) o la función de densidad de probabilidad ( ƒ ), y se define en (-∞, ∞).
Tipo i
![{\displaystyle F(x;\alpha )={\frac {1}{(1+e^{-x})^{\alpha }}}\equiv (1+e^{-x})^{-\alpha },\quad \alpha >0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La función de densidad de probabilidad correspondiente es:
![{\displaystyle f(x;\alpha )={\frac {\alpha e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^{\alpha +1}}},\quad \alpha >0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Este tipo también se ha denominado distribución "logística sesgada".
Tipo II
![{\displaystyle F(x;\alpha )=1-{\frac {e^{-\alpha x}}{(1+e^{-x})^{\alpha }}},\quad \alpha >0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La función de densidad de probabilidad correspondiente es:
![{\displaystyle f(x;\alpha )={\frac {\alpha e^{-\alpha x}}{(1+e^{-x})^{\alpha +1}}},\quad \alpha >0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Tipo III
![{\displaystyle f(x;\alpha )={\frac {1}{B(\alpha ,\alpha )}}{\frac {e^{-\alpha x}}{(1+e^{-x})^{2\alpha }}},\quad \alpha >0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Aquí B es la función beta . La función generadora de momentos para este tipo es
![M(t)={\frac {\Gamma (\alpha -t)\Gamma (\alpha +t)}{(\Gamma (\alpha ))^{2}}},\quad -\alpha <t<\alpha .](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La función de distribución acumulativa correspondiente es:
![F(x;\alpha )={\frac {\left(e^{x}+1\right)\Gamma (\alpha )e^{{\alpha (-x)}}\left(e^{{-x}}+1\right)^{{-2\alpha }}\,_{2}{\tilde {F}}_{1}\left(1,1-\alpha ;\alpha +1;-e^{x}\right)}{B(\alpha ,\alpha )}},\quad \alpha >0.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Tipo IV
![{\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}{\frac {e^{-\beta x}}{(1+e^{-x})^{\alpha +\beta }}},\quad \alpha ,\beta >0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Nuevamente, B es la función beta . La función generadora de momentos para este tipo es
![M(t)={\frac {\Gamma (\beta -t)\Gamma (\alpha +t)}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}},\quad -\alpha <t<\beta .](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Este tipo también se denomina "beta generalizada exponencial del segundo tipo". [1]
La función de distribución acumulativa correspondiente es:
![F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\left(e^{x}+1\right)\Gamma (\alpha )e^{{\beta (-x)}}\left(e^{{-x}}+1\right)^{{-\alpha -\beta }}\,_{2}{\tilde {F}}_{1}\left(1,1-\beta ;\alpha +1;-e^{x}\right)}{B(\alpha ,\beta )}},\quad \alpha ,\beta >0.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)