En astrofísica , la ecuación de la enana blanca de Chandrasekhar es una ecuación diferencial ordinaria de valor inicial introducida por el astrofísico indio americano Subrahmanyan Chandrasekhar , [1] en su estudio del potencial gravitacional de estrellas enanas blancas completamente degeneradas . La ecuación se lee como [2]
con condiciones iniciales
dónde mide la densidad de la enana blanca, es la distancia radial adimensional desde el centro yes una constante que está relacionada con la densidad de la enana blanca en el centro. EL limite de la ecuación está definida por la condición
tal que el rango de se convierte en . Esta condición equivale a decir que la densidad desaparece en.
Derivación
A partir de las estadísticas cuánticas de un gas de electrones completamente degenerado (todos los estados cuánticos más bajos están ocupados), la presión y la densidad de una enana blanca se calculan en términos del momento máximo del electrón.estandarizado como ,
con presion
y densidad
dónde
es el peso molecular medio del gas, y es la altura de un pequeño cubo de gas con solo dos estados posibles.
Cuando esto se sustituye en la ecuación de equilibrio hidrostático
dónde es la constante gravitacional y es la distancia radial, obtenemos
y dejando , tenemos
Si denotamos la densidad en el origen como , luego una escala adimensional
da
dónde . En otras palabras, una vez resuelta la ecuación anterior, la densidad viene dada por
A continuación, se puede calcular el interior de la masa hasta un punto especificado
La relación radio-masa de la enana blanca generalmente se traza en el plano -.
Solución cerca del origen
En el barrio del origen, , Chandrasekhar proporcionó una expansión asintótica como
dónde . También proporcionó soluciones numéricas para la gama.
Ecuación para pequeñas densidades centrales
Cuando la densidad central es pequeña, la ecuación se puede reducir a una ecuación de Lane-Emden introduciendo
para obtener en orden inicial, la siguiente ecuación
sujeto a las condiciones y . Tenga en cuenta que aunque la ecuación se reduce a la ecuación de Lane-Emden con índice politrópico, la condición inicial no es la de la ecuación de Lane-Emden.
Masa límite para grandes densidades centrales
Cuando la densidad central se vuelve grande, es decir, o equivalente , la ecuación gobernante se reduce a
sujeto a las condiciones y . Esta es exactamente la ecuación de Lane-Emden con índice politrópico. Tenga en cuenta que en este límite de grandes densidades, el radio
tiende a cero. Sin embargo, la masa de la enana blanca tiende a un límite finito
El límite de Chandrasekhar se deriva de este límite.
Ver también
Referencias
- ^ Chandrasekhar, Subrahmanyan y Subrahmanyan Chandrasekhar. Una introducción al estudio de la estructura estelar. Vol. 2. Capítulo 11 Courier Corporation, 1958.
- ^ Davis, Harold Thayer (1962). Introducción a las ecuaciones diferenciales e integrales no lineales . Corporación de mensajería. ISBN 978-0-486-60971-3.