En astrofísica , la ecuación de Lane-Emden es una forma adimensional de la ecuación de Poisson para el potencial gravitacional de un fluido politrópico , esféricamente simétrico y autogravitante newtoniano . Lleva el nombre de los astrofísicos Jonathan Homer Lane y Robert Emden . [1] La ecuación dice
dónde es un radio adimensional y está relacionado con la densidad, y por lo tanto la presión, por para densidad central . El índice es el índice politrópico que aparece en la ecuación de estado politrópica,
dónde y son la presión y la densidad, respectivamente, y es una constante de proporcionalidad. Las condiciones de contorno estándar son y . Por tanto, las soluciones describen la carrera de presión y densidad con radio y se conocen como polítropos de índice. Si se utiliza un fluido isotérmico (el índice politrópico tiende a infinito) en lugar de un fluido politrópico, se obtiene la ecuación de Emden-Chandrasekhar .
Aplicaciones
Físicamente, el equilibrio hidrostático conecta el gradiente del potencial, la densidad y el gradiente de la presión, mientras que la ecuación de Poisson conecta el potencial con la densidad. Por lo tanto, si tenemos una ecuación adicional que dicta cómo varían la presión y la densidad entre sí, podemos llegar a una solución. La elección particular de un gas politrópico como se indica arriba hace que el enunciado matemático del problema sea particularmente conciso y conduce a la ecuación de Lane-Emden. La ecuación es una aproximación útil para esferas de plasma autogravitantes como las estrellas, pero por lo general es una suposición bastante limitante.
Derivación
Del equilibrio hidrostático
Considere un fluido autogravitante, esféricamente simétrico en equilibrio hidrostático . La masa se conserva y, por lo tanto, se describe mediante la ecuación de continuidad.
dónde es una función de . La ecuación de equilibrio hidrostático es
dónde es también una función de . Diferenciar de nuevo da
donde se ha utilizado la ecuación de continuidad para reemplazar el gradiente de masa. Multiplicar ambos lados por y recolectando los derivados de a la izquierda se puede escribir
Dividiendo ambos lados por produce, en cierto sentido, una forma dimensional de la ecuación deseada. Si, además, sustituimos la ecuación de estado politrópica con y , tenemos
Reuniendo las constantes y sustituyendo , dónde
tenemos la ecuación de Lane-Emden,
De la ecuación de Poisson
De manera equivalente, se puede comenzar con la ecuación de Poisson ,
Se puede reemplazar el gradiente del potencial usando el equilibrio hidrostático, a través de
que de nuevo produce la forma dimensional de la ecuación de Lane-Emden.
Soluciones exactas
Para un valor dado del índice politrópico , denote la solución de la ecuación de Lane-Emden como . En general, la ecuación de Lane-Emden debe resolverse numéricamente para encontrar. Existen soluciones analíticas exactas para ciertos valores de, En particular: . Para entre 0 y 5, las soluciones son continuas y de extensión finita, con el radio de la estrella dado por , dónde .
Para una solución dada , el perfil de densidad viene dado por
- .
La masa total de la estrella modelo se puede encontrar integrando la densidad sobre el radio, de 0 a .
La presión se puede encontrar usando la ecuación de estado politrópica, , es decir
Finalmente, si el gas es ideal , la ecuación de estado es, dónde es la constante de Boltzmann yel peso molecular medio. El perfil de temperatura viene dado por
En casos de simetría esférica, la ecuación de Lane-Emden es integrable para solo tres valores del índice politrópico .
Para n = 0
Si , la ecuación se convierte en
Reorganizar e integrar una vez da
Dividiendo ambos lados por e integrando de nuevo da
Las condiciones de frontera y implican que las constantes de integración son y . Por lo tanto,
Para n = 1
Cuándo , la ecuación se puede expandir en la forma
Se supone una solución en serie de potencias:
Esto conduce a una relación recursiva para los coeficientes de expansión:
Esta relación se puede resolver conduciendo a la solución general:
La condición de frontera para un politrópo físico exige que como . Esto requiere que, lo que lleva a la solución:
Para n = 5
Partimos de la ecuación de Lane-Emden:
Reescribiendo para produce:
Diferenciar con respecto a ξ conduce a:
Reducida, venimos por:
Por lo tanto, la ecuación de Lane-Emden tiene la solución
Cuándo . Esta solución es finita en masa pero infinita en extensión radial y, por lo tanto, el politrópo completo no representa una solución física. Chandrasekhar creyó durante mucho tiempo que encontrar otra solución para "es complicado e involucra integrales elípticas".
La solución de Srivastava
En 1962, Sambhunath Srivastava encontró una solución explícita cuando . [2] Su solución está dada por
y de esta solución, una familia de soluciones se puede obtener usando transformación de homología. Dado que esta solución no satisface las condiciones en el origen (de hecho, es oscilante con amplitudes que crecen indefinidamente a medida que se acerca al origen), esta solución se puede utilizar en modelos estelares compuestos.
Soluciones analíticas
En las aplicaciones, las soluciones analíticas del juego de roles principales que son expresables por la serie de potencias convergentes se expandieron alrededor de algún punto inicial. Normalmente, el punto de expansión es, que también es un punto singular (singularidad fija) de la ecuación, y se proporcionan algunos datos iniciales en el centro de la estrella. Se puede probar [3] [4] que la ecuación tiene la serie de potencias convergentes / solución analítica alrededor del origen de la forma
.
El radio de convergencia de esta serie está limitado debido a la existencia [4] [6] de dos singularidades en el eje imaginario en el plano complejo . Estas singularidades se ubican simétricamente con respecto al origen. Su posición cambia cuando cambiamos los parámetros de la ecuación y la condición inicial., y por tanto, se denominan singularidades móviles debido a la clasificación de las singularidades de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales en el plano complejo por Paul Painlevé . Una estructura similar de singularidades aparece en otras ecuaciones no lineales que resultan de la reducción del operador de Laplace en simetría esférica, por ejemplo, ecuación de esfera isotérmica. [6]
Las soluciones analíticas pueden extenderse a lo largo de la línea real mediante un procedimiento de continuación analítico que da como resultado el perfil completo de los núcleos de estrellas o nubes moleculares . Dos soluciones analíticas con los círculos de convergencia superpuestos también pueden coincidir en la superposición con la solución de dominio más grande, que es un método de construcción de perfiles de propiedades requeridas comúnmente utilizado.
La solución en serie también se utiliza en la integración numérica de la ecuación. Se utiliza para desplazar los datos iniciales para la solución analítica ligeramente lejos del origen, ya que en el origen los métodos numéricos fallan debido a la singularidad de la ecuación.
Soluciones numéricas
En general, las soluciones se encuentran por integración numérica. Muchos métodos estándar requieren que el problema se formule como un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden . Por ejemplo, [7]
Aquí, se interpreta como la masa adimensional, definida por . Las condiciones iniciales relevantes son y . La primera ecuación representa el equilibrio hidrostático y la segunda representa la conservación de la masa.
Variables homólogas
Ecuación invariante de homología
Se sabe que si es una solución de la ecuación de Lane-Emden, entonces también lo es . [8] Las soluciones que están relacionadas de esta manera se denominan homólogas ; el proceso que los transforma es la homología . Si uno elige variables que son invariantes a la homología, entonces podemos reducir el orden de la ecuación de Lane-Emden en uno.
Existe una variedad de tales variables. Una elección adecuada es
y
Podemos diferenciar los logaritmos de estas variables con respecto a , lo que da
y
- .
Finalmente, podemos dividir estas dos ecuaciones para eliminar la dependencia de , que deja
This is now a single first-order equation.
Topology of the homology-invariant equation
The homology-invariant equation can be regarded as the autonomous pair of equations
and
The behaviour of solutions to these equations can be determined by linear stability analysis. The critical points of the equation (where ) and the eigenvalues and eigenvectors of the Jacobian matrix are tabulated below.[9]
Ver también
Referencias
- ^ Lane, Jonathan Homer (1870). "On the theoretical temperature of the Sun, under the hypothesis of a gaseous mass maintaining its volume by its internal heat, and depending on the laws of gases as known to terrestrial experiment". American Journal of Science. 2. 50 (148): 57–74. Bibcode:1870AmJS...50...57L. doi:10.2475/ajs.s2-50.148.57. ISSN 0002-9599. S2CID 131102972.
- ^ Srivastava, Shambhunath (1962). "A New Solution of the Lane-Emden Equation of Index n=5". The Astrophysical Journal. 136: 680. Bibcode:1962ApJ...136..680S. doi:10.1086/147421. ISSN 0004-637X.
- ^ Kycia, Radosław Antoni (2020). "Perturbed Lane–Emden Equations as a Boundary Value Problem with Singular Endpoints". Journal of Dynamical and Control Systems. 26 (2): 333–347. doi:10.1007/s10883-019-09445-6. ISSN 1079-2724.
- ^ a b Hunter, C. (2001-12-11). "Series solutions for polytropes and the isothermal sphere". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 328 (3): 839–847. Bibcode:2001MNRAS.328..839H. doi:10.1046/j.1365-8711.2001.04914.x. ISSN 0035-8711.
- ^ Kycia, Radosław Antoni; Filipuk, Galina (2015), Mityushev, Vladimir V.; Ruzhansky, Michael V. (eds.), "On the Singularities of the Emden–Fowler Type Equations", Current Trends in Analysis and Its Applications, Cham: Springer International Publishing, pp. 93–99, doi:10.1007/978-3-319-12577-0_13, ISBN 978-3-319-12576-3, retrieved 2020-07-19
- ^ a b Kycia, Radosław Antoni; Filipuk, Galina (2015). "On the generalized Emden–Fowler and isothermal spheres equations". Applied Mathematics and Computation. 265: 1003–1010. doi:10.1016/j.amc.2015.05.140.
- ^ Hansen, Carl J.; Kawaler, Steven D.; Trimble, Virginia (2004). Stellar Interiors: Physical Principles, Structure, and Evolution. New York, NY: Springer. p. 338. ISBN 9780387200897.
- ^ Chandrasekhar, Subrahmanyan (1957) [1939]. An Introduction to the Study of Stellar Structure. Dover. Bibcode:1939isss.book.....C. ISBN 978-0-486-60413-8.
- ^ Horedt, Georg P. (1987). "Topology of the Lane-Emden equation". Astronomy and Astrophysics. 117 (1–2): 117–130. Bibcode:1987A&A...177..117H. ISSN 0004-6361.
Otras lecturas
- Horedt, Georg P. (2004). Polytropes – Applications in Astrophysics and Related Fields. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-1-4020-2350-7.
- David, Harold T. (2010). Introduction to Nonlinear Differential and Integral Equations. Dover Publications. ISBN 978-0486609713.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Lane-Emden Differential Equation". MathWorld.