En geometría algebraica , el teorema de la estructura de Chevalley establece que un grupo algebraico conectado uniformemente sobre un campo perfecto tiene un subgrupo algebraico afín afín conectado uniformemente normal único, de modo que el cociente es una variedad abeliana . Fue probado por Chevalley ( 1960 ) (aunque había anunciado previamente el resultado en 1953), Barsotti (1955) harvtxt error: múltiples objetivos (2x): CITEREFBarsotti1955 ( ayuda ) y Rosenlicht (1956) .
La prueba original de Chevalley, y las otras primeras pruebas de Barsotti y Rosenlicht, utilizaron la idea de mapear el grupo algebraico a su variedad albanesa . Las pruebas originales se basaron en el libro de Weil Fundamentos de la geometría algebraica y son difíciles de seguir para cualquiera que no esté familiarizado con los fundamentos de Weil, pero Conrad (2002) dio más tarde una exposición de la prueba de Chevalley en terminología de teoría de esquemas.
Sobre los campos no perfectos todavía hay un subgrupo lineal conectado normal más pequeño, de modo que el cociente es una variedad abeliana, pero el subgrupo lineal no necesita ser uniforme.
Una consecuencia del teorema de Chevalley es que cualquier grupo algebraico sobre un campo es cuasi proyectivo.
Ejemplos de
Hay varias construcciones naturales que dan grupos algebraicos conectados que no son ni afines ni completos.
- Si C es una curva con un divisor efectivo m , entonces tiene un jacobiano generalizado asociado J m . Este es un grupo algebraico conmutativo que se asigna a la variedad jacobiana J 0 de C con núcleo afín. Entonces J es una extensión de una variedad abeliana por un grupo algebraico afín. En general, esta extensión no se divide.
- El componente conectado reducido del esquema de Picard relativo de un esquema adecuado sobre un campo perfecto es un grupo algebraico, que en general no es ni afín ni propio.
- El componente conectado de la fibra cerrada de un modelo de Neron sobre un anillo de valoración discreto es un grupo algebraico, que en general no es ni afín ni propio.
- Para los grupos analíticos, algunos de los análogos obvios del teorema de Chevalley fallan. Por ejemplo, el producto del grupo aditivo C y cualquier curva elíptica tiene una colección densa de subgrupos cerrados (analíticos pero no algebraicos) isomorfos a C, por lo que no hay un único "subgrupo afín máximo", mientras que el producto de dos copias del multiplicativo grupo C * es isomorfo (analíticamente pero no algebraicamente) a una extensión no dividida de cualquier curva elíptica dada por C .
Aplicaciones
El teorema de la estructura de Chevalley se utiliza en la demostración del criterio de Néron-Ogg-Shafarevich .
Referencias
- Barsotti, Iacopo (1955), "Teoremas de estructura para variedades de grupo", Annali di Matematica Pura ed Applicata , Serie 4, 38 : 77-119, doi : 10.1007 / bf02413515 , ISSN 0003-4622 , MR 0071849
- Barsotti, Iacopo (1955), "Un teorema di struttura per le varietà gruppali", Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Rendiconti. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , 18 : 43–50, MR 0076427
- Chevalley, C. (1960), "Une démonstration d'un théorème sur les groupes algébriques", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , Neuvième Série, 39 : 307–317, ISSN 0021-7824 , MR 0126447
- Conrad, Brian (2002), "Una demostración moderna del teorema de Chevalley sobre grupos algebraicos" (PDF) , Journal of the Ramanujan Mathematical Society , 17 (1): 1-18, ISSN 0970-1249 , MR 1906417
- Rosenlicht, Maxwell (1956), "Algunos teoremas básicos sobre grupos algebraicos", American Journal of Mathematics , 78 : 401–443, doi : 10.2307 / 2372523 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2372523 , MR 0082183