En álgebra , un campo k es perfecto si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- Todo polinomio irreducible sobre k tiene raíces distintas.
- Todo polinomio irreducible sobre k es separable .
- Cada extensión finita de k es separable .
- Cada extensión algebraica de k es separable.
- O k tiene la característica 0 o, cuando k tiene la característica p > 0 , cada elemento de k es una p- ésima potencia .
- O k tiene la característica 0 o, cuando k tiene la característica p > 0 , el endomorfismo de Frobenius x ↦ x p es un automorfismo de k .
- El cierre separable de k es algebraicamente cerrado .
- Cada k -álgebra A conmutativa reducida es un álgebra separable ; es decir, se reduce por cada extensión de campo F / k . (vea abajo)
De lo contrario, k se llama imperfecto .
En particular, todos los campos de característica cero y todos los campos finitos son perfectos.
Los campos perfectos son significativos porque la teoría de Galois sobre estos campos se vuelve más simple, ya que la suposición general de Galois de que las extensiones de campo son separables se satisface automáticamente en estos campos (consulte la tercera condición anterior).
Otra propiedad importante de los campos perfectos es que admiten vectores de Witt .
De manera más general, un anillo de característica p ( p un primo ) se llama perfecto si el endomorfismo de Frobenius es un automorfismo . [1] (Cuando se restringe a dominios integrales , esto es equivalente a la condición anterior "cada elemento de k es una p- ésima potencia").
Ejemplos de
Ejemplos de campos perfectos son:
- cada campo de característica cero, entonces y cada extensión finita, y ; [2]
- cada campo finito ; [3]
- cada campo algebraicamente cerrado ;
- la unión de un conjunto de campos perfectos totalmente ordenados por extensión;
- campos algebraicos sobre un campo perfecto.
La mayoría de los campos que se encuentran en la práctica son perfectos. El caso imperfecto surge principalmente en la geometría algebraica en la característica p > 0 . Todo campo imperfecto es necesariamente trascendental sobre su subcampo principal (el subcampo mínimo), porque este último es perfecto. Un ejemplo de un campo imperfecto es el campo, ya que el Frobenius envía y por lo tanto no es sobreyectiva. Se inserta en el campo perfecto
llamado su perfección . Los campos imperfectos causan dificultades técnicas porque los polinomios irreducibles pueden volverse reducibles en el cierre algebraico del campo base. Por ejemplo, [4] considere por un campo imperfecto de característica y un no un p -ésima potencia en f . Luego, en su cierre algebraico, se cumple la siguiente igualdad:
donde b p = a y tal b existe en este cierre algebraico. Geométricamente, esto significa que no define una curva plana afín en .
Extensión de campo sobre un campo perfecto
Cualquier extensión de campo K generada finitamente sobre un campo perfecto k se genera separablemente, es decir, admite una base de trascendencia de separación , es decir, una base de trascendencia Γ tal que K es separablemente algebraica sobre k (Γ). [5]
Perfecto cierre y perfección
Una de las condiciones equivalentes dice que, en la característica p , un campo contiguo a todas las raíces p r -ésimas ( r ≥ 1 ) es perfecto; se llama el cierre perfecto de k y generalmente se denota por.
El cierre perfecto se puede utilizar en una prueba de separabilidad. Más precisamente, una k- álgebra A conmutativa es separable si y sólo siesta reducido. [6]
En términos de propiedades universales , el cierre perfecto de un anillo A de característica p es un anillo perfecto A p de característica p junto con un homomorfismo de anillo u : A → A p tal que para cualquier otro anillo perfecto B de característica p con un homomorfismo v : A → B hay un homomorfismo único f : A p → B tal que v factoriza a través de u (es decir, v = fu ). El cierre perfecto siempre existe; la demostración implica " p -ésimas raíces contiguas de elementos de A ", similar al caso de los campos. [7]
La perfección de un anillo A de característica p es la noción dual (aunque este término se usa a veces para el cierre perfecto). En otras palabras, la perfección R ( A ) de A es un anillo perfecto de característica p junto con un mapa θ : R ( A ) → A tal que para cualquier anillo perfecto B de característica p equipado con un mapa φ : B → A , hay un mapa único f : B → R ( A ) tal que φ factoriza a través de θ (es decir, φ = θf ). La perfección de A se puede construir como sigue. Considere el sistema proyectivo
donde los mapas de transición son el endomorfismo de Frobenius. El límite inverso de este sistema es R ( A ) y consta de secuencias ( x 0 , x 1 , ...) de elementos de A tales quepor todo i . El mapa θ : R ( A ) → A envía ( x i ) ax 0 . [8]
Ver también
- anillo p
- Anillo perfecto
- Campo cuasi-finito
Notas
- ^ Serre 1979 , sección II.4
- ^ Ejemplos de campos de característica cero incluyen el campo de números racionales , el campo de números reales o el campo de números complejos .
- ^ Cualquier campo finito de orden q puede denotarse, donde q = p k para algún primo p y un entero positivo k .
- ^ Milne, James. Curvas elípticas (PDF) . pag. 6.
- ↑ Matsumura, Teorema 26.2
- ^ Cohn 2003 , Teorema 11.6.10
- ^ Bourbaki 2003 , sección V.5.1.4, página 111
- ^ Brinon y Conrad 2009 , sección 4.2
Referencias
- Bourbaki, Nicolas (2003), Álgebra II , Springer, ISBN 978-3-540-00706-7
- Brinon, Olivier; Conrad, Brian (2009), Notas de la escuela de verano de CMI sobre la teoría p-adic Hodge (PDF) , consultado el 5 de febrero de 2010
- Serre, Jean-Pierre (1979), Campos locales , Textos de posgrado en matemáticas , 67 (2 ed.), Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90424-5, MR 0554237
- Cohn, PM (2003), Álgebra básica: grupos, anillos y campos
- Matsumura, H (2003), Teoría del anillo conmutativo , traducido del japonés por M. Reid. Cambridge Studies in Advanced Mathematics , 8 (2a ed.)
enlaces externos
- "Campo perfecto" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]