El juego Choquet es un juego topológico que lleva el nombre de Gustave Choquet , quien fue en 1969 el primero en investigar este tipo de juegos. [1] Un juego estrechamente relacionado se conoce como el juego Choquet fuerte .
Dejar ser un espacio topológico no vacío . El juego Choquet de, , se define de la siguiente manera: El jugador I elige , un subconjunto abierto no vacío de, luego el jugador II elige , un subconjunto abierto no vacío de , luego el jugador I elige , un subconjunto abierto no vacío de , etc. Los jugadores continúan este proceso, construyendo una secuencia Si entonces el jugador I gana, de lo contrario el jugador II gana.
Se demostró por John C. Oxtoby que un espacio topológico no vacíaes un espacio de Baire si y solo si el jugador I no tiene una estrategia ganadora. Un espacio topológico no vacíoen el que el Jugador II tiene una estrategia ganadora se denomina espacio Choquet . (Tenga en cuenta que es posible que ningún jugador tenga una estrategia ganadora). Por lo tanto, cada espacio de Choquet es Baire. Por otro lado, hay espacios de Baire (incluso los metrizables separables ) que no son espacios de Choquet, por lo que lo contrario falla.
El fuerte juego Choquet de , , se define de manera similar, excepto que el jugador I elige , luego el jugador II elige , luego el jugador I elige , etc, de modo que para todos . Un espacio topológico en el que el jugador II tiene una estrategia ganadora para Se llama espacio Choquet fuerte . Cada espacio fuerte de Choquet es un espacio de Choquet, aunque lo contrario no se sostiene.
Todos los no vacíos espacios métricos completos y compactos T 2 espacios son fuertes Choquet. (En el primer caso, el jugador II, dado, elige tal que y . Entonces la secuencia para todos .) Cualquier subconjunto de un espacio Choquet fuerte que sea un El conjunto es fuerte Choquet. Los espacios metrizables son completamente metrizables si y solo si son Choquet fuertes. [2] [3]
Referencias
- ^ Choquet, Gustave (1969). Conferencias sobre Análisis: Integración y espacios vectoriales topológicos . WA Benjamin. ISBN 9780805369601.
- ^ Becker, Howard; Kechris, AS (1996). La teoría de conjuntos descriptivos de las acciones de grupo polacas . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 59. ISBN 9780521576055.
- ^ Kechris, Alexander (2012). Teoría Clásica Descriptiva de Conjuntos . Springer Science & Business Media. págs. 43–45. ISBN 9781461241904.