En las matemáticas , un espacio topológico se llama separables si contiene un contable , densa subconjunto; es decir, existe una secuencia de elementos del espacio de manera que cada subconjunto abierto no vacío del espacio contenga al menos un elemento de la secuencia.
Axiomas de separación en espacios topológicos | |
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Clasificación de Kolmogorov | |
T 0 | (Kolmogorov) |
T 1 | (Fréchet) |
T 2 | (Hausdorff) |
T 2 ½ | (Urysohn) |
completamente T 2 | (completamente Hausdorff) |
T 3 | (Hausdorff regular) |
T 3½ | (Tychonoff) |
T 4 | (Hausdorff normal) |
T 5 | ( Hausdorff completamente normal ) |
T 6 | ( Hausdorff perfectamente normal ) |
Al igual que los otros axiomas de contabilidad , la separabilidad es una "limitación de tamaño", no necesariamente en términos de cardinalidad (aunque, en presencia del axioma de Hausdorff , este resulta ser el caso; ver más abajo) pero en un sentido más sutil. sentido topológico. En particular, cada función continua en un espacio separable cuya imagen es un subconjunto de un espacio de Hausdorff está determinada por sus valores en el subconjunto denso contable.
Contraste la separabilidad con la noción relacionada de segunda contabilidad , que en general es más fuerte pero equivalente en la clase de espacios metrizables .
Primeros ejemplos
Cualquier espacio topológico que sea en sí mismo finito o numerablemente infinito es separable, porque todo el espacio es un subconjunto denso numerable de sí mismo. Un ejemplo importante de un espacio separable incontable es la línea real , en la que los números racionales forman un subconjunto denso contable. De manera similar, el conjunto de todos los vectores de los cuales es un subconjunto denso contable; así que para cada, -El espacio euclidiano dimensional es separable.
Un ejemplo simple de un espacio que no es separable es un espacio discreto de cardinalidad incontable.
A continuación se ofrecen más ejemplos.
Separabilidad versus segunda contabilidad
Cualquier segundo espacio contable es separable: si es una base contable, eligiendo cualquier desde lo no vacio da un subconjunto denso contable. Por el contrario, un espacio metrizable es separable si y solo si es el segundo contable, que es el caso si y solo si es Lindelöf .
Para comparar más estas dos propiedades:
- Un subespacio arbitrario de un segundo espacio contable es un segundo espacio contable; los subespacios de espacios separables no necesitan ser separables (ver más abajo).
- Cualquier imagen continua de un espacio separable es separable ( Willard 1970 , Th. 16.4a); incluso un cociente de un segundo espacio contable no necesita ser un segundo contable.
- Un producto de como mucho un continuo de muchos espacios separables es separable ( Willard 1970 , p. 109, Th 16.4c). Un producto contable de los segundos espacios contables es un segundo contable, pero un producto incontable de los segundos espacios contables no necesita ni siquiera ser el primero en contarse.
Podemos construir un ejemplo de un espacio topológico separable que no es un segundo contable. Considere cualquier conjunto incontable, elige algunos y defina la topología para que sea la colección de todos los conjuntos que contienen (o están vacíos). Luego, el cierre de es todo el espacio es el conjunto cerrado más pequeño que contiene ), pero cada conjunto del formulario Esta abierto. Por tanto, el espacio es separable pero no puede haber una base contable.
Cardinalidad
La propiedad de separabilidad no da por sí misma ninguna limitación sobre la cardinalidad de un espacio topológico: cualquier conjunto dotado de la topología trivial es separable, así como un segundo contable, cuasi compacto y conectado . El "problema" con la topología trivial son sus pobres propiedades de separación: su cociente de Kolmogorov es el espacio de un punto.
Un primer espacio de Hausdorff contable y separable (en particular, un espacio métrico separable) tiene a lo sumo la cardinalidad continua . En tal espacio, el cierre está determinado por límites de secuencias y cualquier secuencia convergente tiene como máximo un límite, por lo que hay un mapa sobreyectivo desde el conjunto de secuencias convergentes con valores en el subconjunto denso contable hasta los puntos de.
Un espacio separable de Hausdorff tiene cardinalidad como máximo , dónde es la cardinalidad del continuo. Para este cierre se caracteriza en términos de límites de bases filtrantes : si y , luego si y solo si existe una base de filtro que consta de subconjuntos de que converge a . La cardinalidad del conjunto de tales bases de filtro es como máximo . Además, en un espacio de Hausdorff, hay como máximo un límite para cada base de filtro. Por tanto, hay una sobreyección Cuándo
Los mismos argumentos establecen un resultado más general: supongamos que un espacio topológico de Hausdorff contiene un subconjunto denso de cardinalidad . Luego tiene cardinalidad como máximo y cardinalidad como máximo si es primero contable.
El producto de como mucho un continuo de muchos espacios separables es un espacio separable ( Willard 1970 , p. 109, Th 16.4c). En particular el espacio de todas las funciones de la línea real a sí misma, dotado de la topología del producto, es un espacio de cardinalidad de Hausdorff separable . De manera más general, si es cualquier cardinal infinito, entonces un producto de como mucho espacios con subconjuntos densos de tamaño como máximo tiene en sí mismo un subconjunto denso de tamaño como máximo ( Teorema de Hewitt-Marczewski-Pondiczery ).
Matemáticas constructivas
La separabilidad es especialmente importante en el análisis numérico y las matemáticas constructivas , ya que muchos teoremas que pueden demostrarse para espacios no separables tienen demostraciones constructivas solo para espacios separables. Tales demostraciones constructivas se pueden convertir en algoritmos para su uso en análisis numérico, y son los únicos tipos de demostraciones aceptables en el análisis constructivo. Un ejemplo famoso de un teorema de este tipo es el teorema de Hahn-Banach .
Más ejemplos
Espacios separables
- Cada espacio métrico compacto (o espacio metrizable) es separable.
- Cualquier espacio topológico que sea la unión de un número contable de subespacios separables es separable. Juntos, estos dos primeros ejemplos dan una prueba diferente de que-El espacio euclidiano dimensional es separable.
- El espacio de todas las funciones continuas de un subconjunto compacto a la linea real es separable.
- Los espacios de Lebesgue , sobre un espacio de medida separable , son separables para cualquier .
- El espacio de funciones continuas de valor real en el intervalo unitario con la métrica de convergencia uniforme es un espacio separable, ya que se sigue del teorema de aproximación de Weierstrass que el conjunto de polinomios en una variable con coeficientes racionales es un subconjunto denso contable de . El Banach-Mazur teorema afirma que cualquier separable espacio de Banach es isométricamente isomorfo a un cerrado subespacio lineal de.
- Un espacio de Hilbert es separable si y solo si tiene una base ortonormal contable . De ello se deduce que cualquier espacio de Hilbert separable de dimensión infinita es isométrico al espacio de secuencias sumables al cuadrado.
- Un ejemplo de un espacio separable que no es un segundo contable es la línea Sorgenfrey , el conjunto de números reales equipados con la topología de límite inferior .
- Un σ-álgebra separable es un σ-álgebraque es un espacio separable cuando se considera como un espacio métrico con métrica por y una medida dada (y con siendo el operador de diferencia simétrica ). [1]
Espacios no separables
- El primer ordinal incontable , equipado con su topología de orden natural , no es separable.
- El espacio Banach de todas las secuencias reales acotadas, con la norma suprema , no es separable. Lo mismo vale para.
- El espacio de Banach de funciones de variación limitada no es separable; Sin embargo, tenga en cuenta que este espacio tiene aplicaciones muy importantes en matemáticas, física e ingeniería.
Propiedades
- Un subespacio de un espacio separable no necesita ser separable (ver el plano de Sorgenfrey y el plano de Moore ), pero todo subespacio abierto de un espacio separable es separable ( Willard 1970 , Th 16.4b). Además, cada subespacio de un espacio métrico separable es separable.
- De hecho, todo espacio topológico es un subespacio de un espacio separable de la misma cardinalidad . En ( Sierpiński 1952 , p. 49) se da una construcción que suma como máximo numerablemente muchos puntos ; si el espacio era un espacio de Hausdorff, entonces el espacio construido en el que se incrusta también es un espacio de Hausdorff.
- El conjunto de todas las funciones continuas de valor real en un espacio separable tiene una cardinalidad menor o igual a . Esto se sigue ya que tales funciones están determinadas por sus valores en subconjuntos densos.
- De la propiedad anterior, se puede deducir lo siguiente: si X es un espacio separable que tiene un subespacio discreto cerrado incontable, entonces X no puede ser normal . Esto muestra que el avión de Sorgenfrey no es normal.
- Para un espacio compacto de Hausdorff X , los siguientes son equivalentes:
- (i) X es el segundo contable.
- (ii) El espacio de funciones continuas de valor real en X con la norma superior es separable.
- (iii) X es metrizable.
Incorporación de espacios métricos separables
- Cada espacio métrico separable es homeomorfo a un subconjunto del cubo de Hilbert . Esto se establece en la demostración del teorema de metrización de Urysohn .
- Todo espacio métrico separable es isométrico para un subconjunto del espacio de Banach (no separable) l ∞ de todas las secuencias reales acotadas con la norma suprema ; esto se conoce como incrustación de Fréchet. ( Heinonen 2003 )
- Todo espacio métrico separable es isométrico a un subconjunto de C ([0,1]), el espacio de Banach separable de funciones continuas [0,1] → R , con la norma suprema . Esto se debe a Stefan Banach . ( Heinonen 2003 )
- Cada espacio métrico separable es isométrico para un subconjunto del espacio universal de Urysohn .
Para espacios no separables :
- Un espacio métrico de densidad igual a un α cardinal infinito es isométrico a un subespacio de C ([0,1] α , R ) , el espacio de funciones continuas reales sobre el producto de α copias del intervalo unitario. ( Kleiber 1969 )
Referencias
- ^ Džamonja, Mirna; Kunen, Kenneth (1995). "Propiedades de la clase de medida espacios compactos separables" (PDF) . Fundamenta Mathematicae : 262. arXiv : math / 9408201 . Código Bibliográfico : 1994math ...... 8201D .
Si es una medida de Borel en , el álgebra de medidas de es el álgebra booleana de todos los conjuntos de Borel módulo -conjuntos nulos. Sies finito, entonces tal álgebra de medida es también un espacio métrico, siendo la distancia entre los dos conjuntos la medida de su diferencia simétrica. Entonces, decimos quees separable si este espacio métrico es separable como espacio topológico.
- Heinonen, Juha (enero de 2003), Embeddings geométricos de espacios métricos (PDF) , consultado el 6 de febrero de 2009
- Kelley, John L. (1975), Topología general , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90125-1, MR 0370454
- Kleiber, Martin; Pervin, William J. (1969), "Un teorema de Banach-Mazur generalizado", Bull. Austral. Matemáticas. Soc. , 1 (2): 169–173, doi : 10.1017 / S0004972700041411
- Sierpiński, Wacław (1952), Topología general , Exposiciones matemáticas, No. 7, Toronto, Ontario: University of Toronto Press, MR 0050870
- Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446
- Willard, Stephen (1970), topología general , Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-08707-9, MR 0264581