En matemáticas , un espacio topológico se dice que es un espacio de Baire , si para cualquier colección contable dadade conjuntos cerrados con interior vacío en, su unión también tiene interior vacío en . [1] De manera equivalente, un espacio localmente convexo que no es exiguo en sí mismo se denomina espacio de Baire. [2] Según el teorema de la categoría de Baire , los espacios compactos de Hausdorff y los espacios métricos completos son ejemplos de un espacio de Baire. [3] Bourbaki acuñó el término "espacio de Baire". [4]
Motivación
En un espacio topológico arbitrario, la clase de conjuntos cerrados con interior vacío consiste precisamente en los límites de conjuntos abiertos densos . Estos conjuntos son, en cierto sentido, "insignificantes". Algunos ejemplos son conjuntos finitos en curvas suaves en el plano y subespacios afines propios en un espacio euclidiano . Si un espacio topológico es un espacio de Baire, entonces es "grande", lo que significa que no es una unión contable de subconjuntos insignificantes . Por ejemplo, el espacio euclidiano tridimensional no es una unión contable de sus planos afines.
Definición
La definición precisa de un espacio de Baire ha sufrido ligeros cambios a lo largo de la historia, principalmente debido a las necesidades y puntos de vista imperantes. Un espacio topológicose denomina espacio de Baire si cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- Cada subconjunto abierto no vacío de es un subconjunto no exiguo de; [5]
- Cada subconjunto de comeagre es denso en ;
- La unión de cualquier colección contable de subconjuntos densos cerrados en ninguna parte (es decir, cada subconjunto cerrado tiene un interior vacío ) tiene un interior vacío; [5]
- Cada intersección de innumerables conjuntos abiertos densos en es denso en ; [5]
- El interior (tomado en) de cada unión de innumerables conjuntos densos cerrados en ninguna parte está vacío;
- Siempre que la unión de innumerables subconjuntos cerrados de tiene un punto interior, entonces al menos uno de los subconjuntos cerrados debe tener un punto interior;
- El complemento en de cada escaso subconjunto de es denso en ; [5]
- Cada punto en tiene un barrio que es un espacio de Baire (según cualquier condición definitoria distinta a esta). [5]
- Entonces es un espacio de Baire si y solo si es "localmente un espacio de Baire".
Condiciones suficientes
Teorema de la categoría de Baire
El teorema de la categoría de Baire da condiciones suficientes para que un espacio topológico sea un espacio de Baire. Es una herramienta importante en topología y análisis funcional .
- ( BCT1 ) Todo espacio pseudométrico completo es un espacio de Baire. [5] De manera más general, cada espacio topológico que es homeomorfo a un subconjunto abierto de un espacio pseudométrico completo es un espacio de Baire. En particular, todo espacio completamente metrizable es un espacio de Baire.
- ( BCT2 ) Cada espacio de Hausdorff localmente compacto (o más generalmente cada espacio sobrio localmente compacto ) es un espacio de Baire.
BCT1 muestra que cada uno de los siguientes es un espacio de Baire:
- El espacio de números reales
- El espacio de los números irracionales , que es homeomorfo al espacio de Baire. ω ω {\ Displaystyle \ omega ^ {\ omega}} de la teoría de conjuntos
- Cada espacio compacto de Hausdorff es un espacio de Baire.
- En particular, el conjunto Cantor es un espacio de Baire.
- De hecho, todos los espacios polacos .
BCT2 muestra que cada colector es un espacio de Baire, incluso si no es paracompacto y, por lo tanto, no metrizable . Por ejemplo, la cola larga es de segunda categoría.
Otras condiciones suficientes
- Un producto de espacios métricos completos es un espacio de Baire. [5]
- Un espacio vectorial topológico no es una meseta si y solo si es un espacio de Baire, [5] lo que ocurre si y solo si cada subconjunto absorbente cerrado tiene un interior no vacío. [6]
Ejemplos de
- El espacio de números reales con la topología habitual, es un espacio de Baire, por lo que es de segunda categoría en sí mismo. Los números racionales son de primera categoría y los números irracionales son de segunda categoría en.
- El conjunto de Cantor es un espacio de Baire, por lo que es de segunda categoría en sí mismo, pero es de primera categoría en el intervalo con la topología habitual.
- A continuación se muestra un ejemplo de un conjunto de segunda categoría en con medida de Lebesgue :
- Nótese que el espacio de números racionales con la topología habitual heredada de los números reales no es un espacio de Baire, ya que es la unión de muchos conjuntos cerrados numerables sin interior, los singleton .
No es un ejemplo
Uno de los primeros no ejemplos proviene de la topología inducida de los racionales. dentro de la línea real con la topología euclidiana estándar . Dada una indexación de los racionales por los números naturalesasí que una biyección y deja dónde que es un subconjunto denso y abierto en Entonces, debido a que la intersección de cada conjunto abierto en esta vacio, el espacio no puede ser un espacio de Baire.
Propiedades
- Cada espacio de Baire no vacío es de segunda categoría en sí mismo, y cada intersección de innumerables subconjuntos abiertos densos de no está vacío, pero la inversa de ninguno de estos es cierto, como lo muestra la suma topológica disjunta de los racionales y el intervalo unitario
- Cada subespacio abierto de un espacio de Baire es un espacio de Baire.
- Dada una familia de funciones continuas= con límite puntual Si es un espacio de Baire, entonces los puntos donde no es continuo es un escaso conjunto en y el conjunto de puntos donde es continuo es denso en Un caso especial de esto es el principio de delimitación uniforme .
- Un subconjunto cerrado de un espacio de Baire no es necesariamente Baire.
- El producto de dos espacios de Baire no es necesariamente Baire. Sin embargo, existen suficientes condiciones que garantizarán que un producto de arbitrariamente muchos espacios de Baire vuelva a ser Baire.
Ver también
- Espacio de Baire (teoría de conjuntos)
- Juego de Banach – Mazur
- Espacio barreled
- Teoría descriptiva de conjuntos
- Magro conjunto
- Conjunto denso en ninguna parte
- Propiedad de Baire
Citas
- ^ Munkres 2000 , p. 295.
- ^ Köthe 1979 , p. 25.
- ^ Munkres 2000 , p. 296.
- ^ Haworth y McCoy 1977 , p. 5.
- ↑ a b c d e f g h Narici y Beckenstein 2011 , págs. 371-423.
- ↑ Wilansky , 2013 , p. 60.
Referencias
- Baire, René-Louis (1899), Sur les fonctions de variables réelles, Annali di Mat. Ser. 3 3 , 1–123.
- Grothendieck, Alexander (1973). Espacios vectoriales topológicos . Traducido por Chaljub, Orlando. Nueva York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098 .
- Munkres, James R. (2000). Topología . Prentice-Hall . ISBN 0-13-181629-2.
- Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Apuntes de clase en matemáticas . 936 . Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370 .
- Köthe, Gottfried (1983). Espacios vectoriales topológicos I . Grundlehren der mathischen Wissenschaften. 159 . Traducido por Garling, DJH Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Señor 0248498 . OCLC 840293704 .
- Köthe, Gottfried (1979). Espacios vectoriales topológicos II . Grundlehren der mathischen Wissenschaften. 237 . Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9. OCLC 180577972 .
- Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
- Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos en espacios vectoriales topológicos . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .
- Haworth, RC; McCoy, RA (1977), Baire Spaces , Warszawa: Instytut Matematyczny Polskiej Akademi Nauk
enlaces externos
- Artículo de la Enciclopedia de las Matemáticas sobre el espacio de Baire
- Artículo de la Enciclopedia de Matemáticas sobre el teorema de Baire