El lema de Chow , que lleva el nombre de Wei-Liang Chow , es uno de los resultados fundamentales de la geometría algebraica . Dice aproximadamente que un morfismo adecuado está bastante cerca de ser un morfismo proyectivo . Más precisamente, una versión establece lo siguiente: [1]
- Si es un esquema que es adecuado sobre una base noetheriana, entonces existe un proyectivo-esquema y una sobreyectiva -morfismo que induce un isomorfismo para algunos denso abierto
Prueba
La prueba aquí es estándar (cf. EGA II , 5.6.1 ).
Reducción al caso de irreducible
Primero podemos reducir al caso donde es irreductible. Para comenzar,es noetheriano ya que es de tipo finito sobre una base noetheriana. Por lo tanto, tiene un número finito de componentes irreductibles., y afirmamos que para cada hay una irreductible propia -esquema así que eso tiene una imagen de teoría de conjuntos y es un isomorfismo en el subconjunto denso abierto de . Para ver esto, defina ser la imagen de la teoría del esquema de la inmersión abierta
Desde es teóricamente noetheriano para cada , el mapa es cuasi-compacto y podemos calcular esta imagen teórica de esquema afín-localmente en , probando inmediatamente las dos afirmaciones. Si podemos producir para cada un proyectivo -esquema como en el enunciado del teorema, entonces podemos tomar ser la unión disjunta y ser la composicion : este mapa es proyectivo y un isomorfismo sobre un conjunto denso abierto de , tiempo es un proyectivo -esquema ya que es una unión finita de proyectivas -esquemas. Desde cada uno es apropiado sobre , hemos completado la reducción al caso irreducible.
puede ser cubierto por un número finito cuasi-proyectivo -esquemas
A continuación, mostraremos que puede estar cubierto por un número finito de subconjuntos abiertos para que cada uno es cuasi proyectivo sobre . Para hacer esto, podemos por cuasi-compacidad primero cubrir por un número finito de afines se abre y luego cubra la preimagen de cada en por un número finito de afines se abre cada uno con una inmersión cerrada en desde es de tipo finito y, por tanto, cuasi-compacto. Componiendo este mapa con las inmersiones abiertas y , vemos que cada es un subesquema cerrado de un subesquema abierto de . Como es noetherian, cada subesquema cerrado de un subesquema abierto es también un subesquema abierto de un subesquema cerrado, y por lo tanto cada es cuasi proyectivo sobre .
Construcción de y
Ahora suponga es una tapa abierta finita de por cuasi-proyectivo -esquemas, con una inmersión abierta en un proyectivo -esquema. Colocar, que no está vacío como es irreductible. Las restricciones de la a definir un morfismo
así que eso , dónde es la inyección canónica y es la proyección. Dejando denotamos la inmersión canónica abierta, definimos , que afirmamos es una inmersión. Para ver esto, tenga en cuenta que este morfismo se puede factorizar como el morfismo gráfico (que es una inmersión cerrada como está separado) seguido de la inmersión abierta ; como es noetheriano, podemos aplicar la misma lógica que antes para ver que podemos intercambiar el orden de las inmersiones abiertas y cerradas.
Ahora deja ser la imagen teórica de esquemas de y factor como
dónde es una inmersión abierta y es una inmersión cerrada. Dejar y sean las proyecciones canónicas. Colocar
Te mostraremos que y Satisfacer la conclusión del teorema.
Verificación de las propiedades reclamadas de y
Mostrar es sobreyectiva, primero notamos que es propia y, por tanto, cerrada. Como su imagen contiene el denso conjunto abierto, vemos eso debe ser sobreyectiva. También es sencillo ver que induce un isomorfismo en : podemos simplemente combinar los hechos que y es un isomorfismo en su imagen, como factores como la composición de una inmersión cerrada seguida de una inmersión abierta . Queda por demostrar que es proyectivo sobre .
Haremos esto mostrando que es una inmersión. Definimos las siguientes cuatro familias de subesquemas abiertos:
Como el cubrir , la cubrir , y deseamos demostrar que el también cubre . Haremos esto mostrando que para todos . Basta mostrar que es igual a como mapa de espacios topológicos. Reemplazo por su reducción, que tiene el mismo espacio topológico subyacente, tenemos que los dos morfismos son ambas extensiones del mapa subyacente del espacio topológico , por lo que por el lema reducido a separado deben ser iguales a es topológicamente denso en . Por lo tanto para todos y el reclamo está probado.
El resultado es que cubrir , y podemos comprobar que es una inmersión comprobando que es una inmersión para todos . Para esto, considere el morfismo
Desde está separado, el morfismo del gráfico es una inmersión cerrada y el gráfico es un subesquema cerrado de ; si mostramos eso factores a través de este gráfico (donde consideramos a través de nuestra observación de que es un isomorfismo sobre de antes), luego el mapa de también debe factorizar a través de este gráfico mediante la construcción de la imagen de la teoría del esquema. Dado que la restricción de a es un isomorfismo sobre , la restricción de a será una inmersión en , y nuestro reclamo será probado. Dejar ser la inyección canónica ; tenemos que demostrar que hay un morfismo así que eso . Según la definición del producto de fibra, basta con demostrar que, o identificando y , que . Pero y , por lo que la conclusión deseada se deriva de la definición de y es una inmersión. Desde es apropiado, cualquiera -morfismo de está cerrado, y por lo tanto es una inmersión cerrada, por lo que es proyectiva.
Declaraciones adicionales
En el enunciado del lema de Chow, si es reducido, irreducible o integral, podemos suponer que lo mismo vale para . Si ambos y son irreductibles, entonces es un morfismo biracional . (cf. EGA II , 5.6 ).
Referencias
- ^ Hartshorne , Capítulo II. Ejercicio 4.10
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1961). "Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 8 . doi : 10.1007 / bf02699291 . Señor 0217084 .
- Hartshorne, Robin (1977), Geometría Algebraica , Textos de Posgrado en Matemáticas , 52 , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157