Este es un glosario de geometría algebraica .
Véase también el glosario de álgebra conmutativa , el glosario de geometría algebraica clásica y el glosario de teoría de anillos . Para las aplicaciones de la teoría de números, consulte el glosario de geometría aritmética y diofántica .
Por simplicidad, a menudo se omite una referencia al esquema básico; es decir, un esquema será un esquema sobre algún esquema de base fija S y un morfismo un S -morfismo.
PS
- Un punto genérico . Por ejemplo, el punto asociado al ideal cero para cualquier esquema afín integral.
- F ( n ), F ( D )
- 1. Si X es un esquema proyectivo con la gavilla retorcida de Serrey si F es un -módulo, luego
- 2. Si D es un divisor de Cartier y F es un -módulo ( X arbitrario), luego Si D es un divisor de Weil y F es reflexivo, entonces se reemplaza F ( D ) por su casco reflexivo (y el resultado sigue siendo F ( D )).
- | D |
- El sistema lineal completo de un divisor de Weil D en una variedad completa normal X sobre un campo k algebraicamente cerrado ; es decir, . Existe una biyección entre el conjunto de k puntos racionales de | D | y el conjunto de divisores eficaces Weil en X que son linealmente equivalente a D . [1] Se utiliza la misma definición si D es un divisor de Cartier en una variedad completa sobre k .
- [X / G]
- La pila cociente de, digamos, un espacio algebraica X por una acción de un esquema de grupo G .
- El cociente GIT de un esquema de X por una acción de un esquema de grupo G .
- L n
- Una notación ambigua. Por lo general, significa un n poder tensor -ésimo de L , pero también puede significar el número de auto-intersección de L . Si , la estructura gavilla en X , entonces significa la suma directa de n copias de .
- El paquete de líneas tautológicas . Es el dual de la gavilla retorcida de Serre.
- Gavilla retorcida de Serre . Es el dual del paquete de líneas tautológicas.. También se le llama paquete de hiperplano.
- 1. Si D es un divisor efectiva Cartier en X , entonces es la inversa de la gavilla ideal de D .
- 2. La mayoría de las veces, es la imagen de D bajo el homomorfismo de grupo natural del grupo de divisores de Cartier al grupo de Picard de X , el grupo de clases de isomorfismo de haces de línea en X .
- 3. En general, es la gavilla correspondiente a un divisor de Weil D (en un esquema normal ). No tiene por qué ser localmente libre, solo reflexivo .
- 4. Si D es un divisor ℚ, entonces es de la parte integral de D .
- 1. es la gavilla de los diferenciales de Kähler en X .
- 2. es el p -ésimo poder exterior de .
- 1. Si p es 1, este es el conjunto de diferenciales logarítmicos de Kähler en X a lo largo de D (formas aproximadamente diferenciales con polos simples a lo largo de un divisor D ).
- 2. es el p -ésimo poder exterior de .
- P ( V )
- La notación es ambigua. Su significado tradicional es la proyectivización de un espacio de vectores k de dimensión finita V ; es decir,
- Factorial Q
- Una variedad normal es -factorial si cada -El divisor de Weil es -Cartier.
- Especificación ( R )
- El conjunto de todos los ideales primos en un anillo R con topología de Zariski; se llama el espectro primordial de R .
- Especificación X ( F )
- El Spec relativa de la O X -algebra F . También se indica mediante Spec ( F ) o simplemente Spec ( F ).
- Especificar un ( R )
- El conjunto de todas las valoraciones para un anillo R con cierta topología débil; se llama el espectro Berkovich de R .
A
- abeliano
- 1. Una variedad abeliana es una variedad de grupo completo. Por ejemplo, considere la variedad compleja o una curva elíptica sobre un campo finito .
- 2. Un esquema abeliano es una familia (plana) de variedades abelianas.
- fórmula adjunta
- 1. Si D es un divisor de Cartier efectivo en una variedad algebraica X , ambos admiten haces dualizantes, entonces la fórmula adjunta dice:
- .
- dónde son divisores canónicas en D y X .
Del prefacio a IR Shafarevich, Geometría algebraica básica.
B
- Función Behrend
- La característica de Euler ponderado de un (buen) pila X con respecto a la función Behrend es el grado de la clase fundamental virtuales de X .
- Fórmula de trazas de Behrend
- La fórmula de trazas de Behrend generaliza la fórmula de trazas de Grothendieck ; ambas fórmulas calculan el rastro de Frobenius en la cohomología l -ádica.
- grande
- Un gran paquete de líneas L en X de dimensión n es un paquete de líneas tal que .
- morfismo biracional
- Un morfismo biracional entre esquemas es un morfismo que se convierte en isomorfismo después de restringido a algún subconjunto denso abierto. Uno de los ejemplos más comunes de un mapa biracional es el mapa inducido por una explosión.
- explotar
- Una explosión es una transformación biracional que reemplaza un subesquema cerrado con un divisor Cartier efectivo. Precisamente, dado un esquema noetheriano X y un subesquema cerrado , la explosión de X a lo largo de Z es un morfismo adecuado tal que (1) es un divisor Cartier eficaz, llamado divisor excepcional y (2) es universal con respecto a (1). Concretamente, se construye como el relativo Proj del álgebra de Rees de con respecto a la determinación del ideal gavilla Z .
C
- Calabi – Yau
- 1. La métrica de Calabi-Yau es una métrica de Kähler cuya curvatura de Ricci es cero.
- canónico
- 1. La gavilla canónica en una variedad normal X de dimensión n es donde i es la inclusión del locus suave U y es el haz de formas diferenciales en U de grado n . Si el campo base tiene una característica cero en lugar de normalidad, entonces se puede reemplazar i por una resolución de singularidades.
- 2. La clase canónicaen una variedad normal X es la clase divisoria tal que .
- 3. El divisor canónico es un representante de la clase canónica. denotado por el mismo símbolo (y no bien definido).
- 4. El anillo canónico de una variedad normal X es el anillo de sección de la gavilla canónica .
- modelo canónico
- 1. El modelo canónico es la Proj de un anillo canónica (suponiendo que el anillo es de generación finita.)
- Cartier
- 1. Un divisor de Cartier D efectivo en un esquema X sobre S es un subesquema cerrado de X que es plano sobre S y cuya gavilla ideal es invertible (localmente libre de rango uno).
- Regularidad Castelnuovo-Mumford
- La regularidad Castelnuovo-Mumford de un haz coherente F en un espacio proyectivo sobre un esquema S es el número entero más pequeño r tal que
- de cadena
- Un esquema es catenario , si todas las cadenas entre dos subesquemas cerrados irreductibles tienen la misma longitud. Los ejemplos incluyen prácticamente todo, por ejemplo, variedades en un campo, y es difícil construir ejemplos que no sean catenarios.
- fibra central
- 1. Una fibra especial.
- Grupo Chow
- El grupo k -th Chowde una variedad suave X es el grupo abeliano libre generado por subvariedades cerradas de dimensión k (grupo de k - ciclos ) equivalencias módulo racionales .
- clasificación de pila
- Un análogo de un espacio de clasificación para torsores en geometría algebraica; ver pila de clasificación .
- cerrado
- Los subesquemas cerrados de un esquema X se definen como aquellos que ocurren en la siguiente construcción. Sea J un haz cuasi coherente de - ideales . El soporte de la gavilla del cocientees un subconjunto cerrado Z de X y es un esquema llamado el subesquema cerrado definido por el cuasi-coherente haz de ideales J . [6] La razón por la que la definición de subesquemas cerrados se basa en tal construcción es que, a diferencia de los subconjuntos abiertos, un subconjunto cerrado de un esquema no tiene una estructura única como subesquema.
- Cohen – Macaulay
- Un esquema se llama Cohen-Macaulay si todos los anillos locales son Cohen-Macaulay . Por ejemplo, los esquemas regulares y Spec k [ x, y ] / ( xy ) son Cohen-Macaulay, pero no es.
- gavilla coherente
- Una gavilla coherente en un esquema noetheriano X es una gavilla casi coherente que se genera finitamente como módulo O X.
- cónico
- Una curva algebraica de grado dos.
- conectado
- El esquema está conectado como un espacio topológico. Dado que los componentes conectados refinan los componentes irreductibles, cualquier esquema irreducible está conectado, pero no al revés. Un esquema afín Spec (R) está conectado si el anillo R no posee idempotentes distintos de 0 y 1; dicho anillo también se denomina anillo conectado . Los ejemplos de esquemas conectados incluyen el espacio afín , el espacio proyectivo y un ejemplo de un esquema que no está conectado es Spec ( k [ x ] × k [ x ])
- compactificación
- Véase, por ejemplo, el teorema de compactación de Nagata .
- Anillo de Cox
- Una generalización de un anillo de coordenadas homogéneo. Ver anillo de Cox .
- crepante
- Un morfismo crepante entre variedades normales es un morfismo tal que .
- curva
- Una variedad algebraica de dimensión uno.
D
- deformación
- Dejar ser un morfismo de esquemas y X un S -esquema. Entonces, una deformación X 'de X es un esquema S ' junto con un cuadrado de retroceso en el que X es el retroceso de X '(normalmente se supone que X ' es plano ).
- locus de degeneración
- Dado un mapa de paquete de vectores sobre una variedad X (es decir, un esquema X -morfismo entre los espacios totales de los haces), el locus de degeneración es el locus (teórico del esquema)
- .
- se mantiene para cualquier gavilla F libre localmente en X ; por ejemplo, si X es una variedad proyectiva suave, entonces es una gavilla canónica .
mi
- Éléments de géométrie algébrique
- El EGA fue un intento incompleto de sentar las bases de la geometría algebraica basada en la noción de esquema , una generalización de una variedad algebraica. Séminaire de géométrie algébrique retoma donde lo dejó la EGA. Hoy es una de las referencias estándar en geometría algebraica.
- curva elíptica
- Una curva elíptica es una curva proyectiva suave del género uno.
- esencialmente de tipo finito
- Localización de un esquema de tipo finito.
- étale
- Un morfismo f : Y → X es étale si es plano y sin ramificar. Hay varias otras definiciones equivalentes. En el caso de variedades lisas y sobre un campo algebraicamente cerrado , los morfismos étale son precisamente los que inducen un isomorfismo de espacios tangentes , que coincide con la noción habitual de mapa étale en geometría diferencial. Los morfismos de Étale forman una clase muy importante de morfismos; se utilizan para construir la topología llamada étale y consecuentemente la cohomología étale , que es hoy en día una de las piedras angulares de la geometría algebraica.
- Secuencia de Euler
- La secuencia exacta de gavillas:
- teoría de la intersección equivariante
- Véase el capítulo II de http://www.math.ubc.ca/~behrend/cet.pdf
F
- F -regular
- Relacionado con el morfismo de Frobenius . [7]
- Fano
- Una variedad Fano es una variedad X proyectiva suave cuya gavilla anticanónica es amplio.
- fibra
- Dado entre esquemas, la fibra de f sobre y es, como conjunto, la imagen previa ; tiene la estructura natural de un esquema sobre el campo de residuos de y como producto de fibra , dónde tiene la estructura natural de un esquema sobre Y como Spec del campo de residuos de y .
- producto de fibra
- 1. Otro término para el " retroceso " en la teoría de categorías.
- 2. Una pila dado por : un objeto sobre B es un triple ( x , y , ψ), x en F ( B ), y en H ( B ), ψ un isomorfismo en G ( B ); una flecha de ( x , y , ψ) a ( x ' , y ' , ψ ') es un par de morfismos tal que . El cuadrado resultante con proyecciones obvias no conmuta; más bien, conmuta al isomorfismo natural; es decir, 2 viajes diarios .
- final
- Una de las ideas fundamentales de Grothendieck es enfatizar las nociones relativas , es decir, las condiciones de los morfismos en lugar de las condiciones de los esquemas mismos. La categoría de esquemas tiene un objeto final , el espectro del anillo. de enteros; para que cualquier esquema se acabo, y de una manera única.
- finito
- El morfismo f : Y → X es finito si puede estar cubierto por conjuntos abiertos afines tal que cada es afín - digamos de la forma - y además se genera finitamente como un -módulo. Ver morfismo finito . Los morfismos finitos son cuasi-finitos, pero no todos los morfismos que tienen fibras finitas son cuasi-finitos, y los morfismos de tipo finito no suelen ser cuasi-finitos.
- tipo finito (localmente)
- El morfismo f : Y → X es localmente de tipo finito si puede estar cubierto por conjuntos abiertos afines tal que cada imagen inversa está cubierto por conjuntos abiertos afines donde cada se genera finitamente como un -álgebra. El morfismo f : Y → X es de tipo finito si puede estar cubierto por conjuntos abiertos afines tal que cada imagen inversa está cubierto por un número finito de conjuntos abiertos afines donde cada se genera finitamente como un -álgebra.
- fibras finitas
- El morfismo f : Y → X tiene fibras finitas si la fibra sobre cada punto es un conjunto finito. Un morfismo es cuasi-finito si es de tipo finito y tiene fibras finitas.
- presentación finita
- Si y es un punto de Y , entonces el morfismo f es de presentación finita en y (o finitamente presentado en y ) si hay un vecindario afín abierto U de f (y) y un vecindario afín abierto V de y tal que f ( V ) ⊆ U y es un álgebra finitamente presentada sobre . El morfismo f es localmente finita de presentación si se presenta un número finito en todos los puntos de Y . Si X es localmente noetheriano, entonces f es localmente de presentación finita si, y sólo si, es localmente de tipo finito. [8] El morfismo f : Y → X es de presentación finita (o Y se presenta finitamente sobre X ) si es localmente de presentación finita, cuasi compacta y cuasi separada. Si X es localmente noetheriano, entonces f es de presentación finita si, y solo si, es de tipo finito. [9]
- variedad de bandera
- La variedad de banderas parametriza una bandera de espacios vectoriales.
- Departamento
- Un morfismo es plano si da lugar a un mapa plano sobre tallos. Al ver un morfismo f : Y → X como una familia de esquemas parametrizados por los puntos de , el significado geométrico de la planitud podría describirse a grandes rasgos diciendo que las fibras no varíe demasiado.
- formal
- Ver esquema formal .
GRAMO
- g r d .
- Dada una curva C , un divisor D sobre ella y un subespacio vectorial , se dice el sistema lineal es ag r d si V tiene dimensión r +1 y D tiene grado d . Se dice que C tiene ag r d si existe tal sistema lineal.
- Teorema de reconstrucción de Gabriel-Rosenberg
- El teorema de reconstrucción Gabriel-Rosenberg establece un esquema de X se puede recuperar de la categoría de gavillas cuasi-coherente en X . [10] El teorema es un punto de partida para la geometría algebraica no conmutativa ya que, tomando el teorema como axioma, definir un esquema no conmutativo equivale a definir la categoría de haces cuasi-coherentes en él. Véase también https://mathoverflow.net/q/16257
- Paquete G
- Un paquete G principal.
- punto genérico
- Un punto denso.
- género
- Ver # género aritmético , # género geométrico .
- fórmula de género
- La fórmula de género para una curva nodal en el plano proyectivo dice que el género de la curva se da como
- género geométrico
- El género geométrico de una variedad proyectiva suave X de dimensión n es
- punto geométrico
- El espectro principal de un campo algebraicamente cerrado.
- propiedad geométrica
- Una propiedad de un esquema X sobre un campo k es " geométrica " si se cumple para para cualquier extensión de campo .
- cociente geométrico
- El cociente geométrico de un esquema X con la acción de un esquema de grupo G es un buen cociente tal que las fibras son órbitas.
- gerbe
- Un gerbe es (reloj) una pila que no está vacía localmente y en la que dos objetos son isomorfos localmente.
- Cociente GIT
- El cociente GIT es Cuándo y Cuándo .
- buen cociente
- El buen cociente de un esquema X con la acción de un esquema grupal G es un morfismo invariante tal que
- donde Z es una subvariedad cerrada de una variedad X y equipada con la multiplicación
H
- Polinomio de Hilbert
- El polinomio de Hilbert de un esquema proyectivo X sobre un campo es la característica de Euler .
- Paquete Hodge
- El paquete de Hodge en el espacio de módulos de curvas (de género fijo) es aproximadamente un paquete vectorial cuya fibra sobre una curva C es el espacio vectorial .
- hiperelíptico
- Una curva es hiperelíptica si tiene un g 1 2 (es decir, hay un sistema lineal de dimensión 1 y grado 2).
- paquete de hiperplano
- Otro término para la gavilla retorcida de Serre. Es el dual del paquete de líneas tautológicas (de ahí el término).
I
- imagen
- Si f : Y → X es cualquier morfismo de esquemas, la imagen de la teoría de esquemas de f es el subesquema cerrado único i : Z → X que satisface la siguiente propiedad universal :
- f factores a través de i ,
- si j : Z ′ → X es cualquier subesquema cerrado de X tal que f factoriza a través de j , entonces i también factoriza a través de j . [11] [12]
- inmersión
- Las inmersiones f : Y → X son mapas que factorizan a través de isomorfismos con subesquemas. En concreto, una inmersión abierta se factores a través de un isomorfismo con un subesquema abierto y un factor de inmersión cerrado a través de un isomorfismo con un subesquema cerrado. [13] De manera equivalente, f es una inmersión cerrada si, y solo si, induce un homeomorfismo desde el espacio topológico subyacente de Y a un subconjunto cerrado del espacio topológico subyacente de X , y si el morfismo es sobreyectiva. [14] Una composición de inmersiones es nuevamente una inmersión. [15] Algunos autores, como Hartshorne en su libro Algebraic Geometry y Q. Liu en su libro Algebraic Geometry and Arithmetic Curves , definen las inmersiones como el compuesto de una inmersión abierta seguida de una inmersión cerrada. Estas inmersiones son inmersiones en el sentido anterior, pero lo contrario es falso. Además, según esta definición, la combinación de dos inmersiones no es necesariamente una inmersión. Sin embargo, las dos definiciones son equivalentes cuando f es cuasi-compacta. [16] Nótese que una inmersión abierta está completamente descrita por su imagen en el sentido de espacios topológicos, mientras que una inmersión cerrada no lo es: y puede ser homeomorfo pero no isomorfo. Esto sucede, por ejemplo, si I es el radical de J pero J no es un ideal radical. Cuando se especifica un subconjunto cerrado de un esquema sin mencionar la estructura del esquema, usualmente se entiende la llamada estructura de esquema reducida , es decir, la estructura del esquema correspondiente al ideal radical único que consiste en todas las funciones que desaparecen en ese subconjunto cerrado.
- esquema ind
- Un esquema ind es un límite inductivo de inmersiones cerradas de esquemas.
- gavilla invertible
- Un fajo libre localmente de rango uno. De manera equivalente, es un torsor para el grupo multiplicativo. (es decir, paquete de líneas).
- integral
- Un esquema que es tanto reducido como irreducible se llama integral . Para los esquemas localmente noetherianos, ser integral equivale a ser un esquema conectado que está cubierto por los espectros de dominios integrales . (Estrictamente hablando, esta no es una propiedad local, porque la unión disjunta de dos esquemas integrales no es integral. Sin embargo, para esquemas irreductibles, es una propiedad local). Por ejemplo, el esquema Spec k [ t ] / f , f polinomio irreducible es integral, mientras que Spec A × B . ( A , B ≠ 0) no lo es.
- irreducible
- Un esquema X se dice que es irreducible cuando (como un espacio topológico) no es la unión de dos subconjuntos cerrados excepto si uno es igual a X . Usando la correspondencia de los ideales y puntos primos en un esquema afín, esto significa que X es irreducible si X está conectado y los anillos A i tienen todos exactamente un ideal primo mínimo . (Por lo tanto, los anillos que poseen exactamente un ideal primo mínimo también se denominan irreductibles ). Cualquier esquema noetheriano puede escribirse de manera única como la unión de un número finito de subconjuntos cerrados no vacíos irreductibles máximos, llamados sus componentes irreducibles . El espacio afín y el espacio proyectivo son irreducibles, mientras que Spec k [ x, y ] / ( xy ) = no es.
J
- Variedad jacobiana
- La variedad jacobiana de una curva proyectiva X es la parte de grado cero de la variedad Picard.
K
- Teorema de desaparición de Kempf
- El teorema de desaparición de Kempf se refiere a la desaparición de la cohomología superior de una variedad de bandera.
- klt
- Abreviatura de " kawamata log terminal "
- Dimensión de Kodaira
- 1. La dimensión Kodaira (también llamada la dimensión Iitaka ) de un semi-amplia línea de haz L es la dimensión de Proj del anillo de la sección de L .
- 2. La dimensión Kodaira de una variedad normal X es la dimensión Kodaira de su haz canónico.
- Teorema de desaparición de Kodaira
- Vea el teorema de desaparición de Kodaira .
- Mapa de Kuranishi
- Ver estructura de Kuranishi .
L
- Número largo
- Consulte el número largo .
- estructura de nivel
- ver http://math.stanford.edu/~conrad/248BPage/handouts/level.pdf
- linealización
- Otro término para la estructura de un haz equivariante / paquete de vectores.
- local
- Las propiedades más importantes de los esquemas son de naturaleza local , es decir, un esquema X tiene una cierta propiedad P si y solo si para cualquier cobertura de X por subesquemas abiertos X i , es decir, X = X i , cada X i tiene la propiedad P . Suele darse el caso de que basta con comprobar una portada, no todas las posibles. También se dice que cierta propiedad es Zariski-local , si es necesario distinguir entre la topología Zariski y otras topologías posibles, como la topología étale . Considere un esquema X y una cubierta por subesquemas abiertos afines Spec A i . Usando el diccionario entre anillos (conmutativos) y esquemas afines, las propiedades locales son, por tanto, propiedades de los anillos A i . Una propiedad P es local en el sentido anterior, si la propiedad correspondiente de los anillos es estable en la localización . Por ejemplo, podemos hablar de esquemas localmente noetherianos , es decir, aquellos que están cubiertos por los espectros de los anillos noetherianos . El hecho de que las localizaciones de un anillo noetheriano sigan siendo noetheriano significa que la propiedad de un esquema de ser localmente noetheriano es local en el sentido anterior (de ahí el nombre). Otro ejemplo: si un anillo es reducido (es decir, no tiene elementos nilpotentes distintos de cero ), también lo son sus localizaciones. Un ejemplo de una propiedad no local es la separación (consulte la definición a continuación). Cualquier esquema afín está separado, por lo tanto, cualquier esquema está separado localmente. Sin embargo, las piezas afines pueden pegarse patológicamente para producir un esquema no separado. La siguiente es una lista (no exhaustiva) de propiedades locales de los anillos, que se aplican a los esquemas. Sea X = Spec A i ser una cobertura de un esquema por subesquemas afines abiertos. Para mayor precisión, sea k un campo en el siguiente. Sin embargo, la mayoría de los ejemplos también funcionan con los enteros Z como base, o incluso con bases más generales. Conectado, irreductible, reducido, integral, normal, regular, Cohen-Macaulay, localmente noetheriano, dimensión, catenaria,
- intersección completa local
- Los anillos locales son anillos de intersección completos . Ver también: incrustación regular .
- uniformización local
- La uniformización local es un método de construcción de una forma más débil de resolución de singularidades mediante anillos de valoración .
- localmente factorial
- Los anillos locales son dominios de factorización únicos .
- localmente de tipo finito
- El morfismo f : Y → X es localmente de tipo finito si puede estar cubierto por conjuntos abiertos afines tal que cada imagen inversa está cubierto por conjuntos abiertos afines donde cada se genera finitamente como un -álgebra.
- localmente noetherian
- Los A i son anillos noetherianos . Si además un número finito de tales espectros afines cubre X , el esquema se llama noetheriano . Si bien es cierto que el espectro de un anillo noetheriano es un espacio topológico noetheriano , lo contrario es falso. Por ejemplo, la mayoría de los esquemas en geometría algebraica de dimensión finita son localmente noetherianos, pero no es.
- geometría logarítmica
- estructura de registro
- Ver estructura de registro . La noción se debe a Fontaine-Illusie y Kato.
- grupo de bucle
- Ver grupo de bucles (el artículo vinculado no discute un grupo de bucles en geometría algebraica; por ahora, vea también el esquema ind ).
METRO
- módulos
- Véase, por ejemplo, el espacio de módulos . Si bien gran parte del trabajo inicial sobre módulos, especialmente desde [Mum65], puso el énfasis en la construcción de espacios de módulos finos o gruesos, recientemente el énfasis se desplazó hacia el estudio de las familias de variedades, es decir, hacia módulos functores y pilas de módulos. La tarea principal es comprender qué tipo de objetos forman familias "agradables". Una vez que se establece un buen concepto de “familias agradables”, la existencia de un espacio de módulos burdos debería ser casi automática. El espacio de módulos burdos ya no es el objeto fundamental, más bien es solo una forma conveniente de realizar un seguimiento de cierta información que solo está latente en el functor de módulos o en la pila de módulos.
Kollár, János, Capítulo 1 , "Libro sobre módulos de superficies".
- Programa de modelo mínimo de Mori
- El programa de modelo mínimo es un programa de investigación que tiene como objetivo hacer una clasificación biracional de variedades algebraicas de dimensión mayor que 2.
- morfismo
- 1. Un morfismo de variedades algebraicas viene dado localmente por polinomios.
- 2. Un morfismo de esquemas es un morfismo de espacios anillados localmente .
- 3. Un morfismo de pilas (sobre, digamos, la categoría de esquemas S ) es un funtor tal que dónde son mapas de estructuras de la categoría base.
norte
- nef
- Ver paquete de líneas nef .
- no singular
- Un término arcaico para "suave" como en una variedad suave .
- normal
- 1. Un esquema integral se llama normal , si los anillos locales son dominios integralmente cerrados . Por ejemplo, todos los esquemas regulares son normales, mientras que las curvas singulares no lo son.
- 2. Una curva suave se dice que es k -normal si las hipersuperficies de grado k cortan la serie lineal completa . Es proyectivamente normal si es k -normal para todo k > 0. Por tanto, se dice que "una curva es proyectivamente normal si el sistema lineal que la incrusta está completo". El término "linealmente normal" es sinónimo de 1-normal.
- 3. Una subvariedad cerrada se dice que es proyectivamente normal si la cobertura afín sobre X es un esquema normal ; es decir, el anillo de coordenadas homogéneo de X es un dominio integralmente cerrado. Este significado es consistente con el de 2.
- normal
- 1. Si X es un subesquema cerrado de un esquema Y con gavilla ideal I , entonces la gavilla normal a X es . Si el incrustado de X en Y es regular , es localmente libre y se llama paquete normal .
- 2. El cono normal a X es . si X está incrustado regularmente en Y , entonces el cono normal es isomorfo a , El espacio total del haz de normal a X .
- cruces normales
- Ver cruces normales .
- normalmente generado
- Se dice que un paquete de líneas L en una variedad X se genera normalmente si, para cada entero n > 0, el mapa natural es sobreyectiva.
O
- abierto
- 1. Un morfismo f : Y → X de esquemas se llama abierto ( cerrado ), si el mapa subyacente de espacios topológicos está abierto (cerrado, respectivamente), es decir, si los subesquemas abiertos de Y se asignan a subesquemas abiertos de X (y de manera similar para cerrado). Por ejemplo, los morfismos planos finamente presentados están abiertos y los mapas adecuados están cerrados.
- 2. Un subesquema abierto de un esquema X es un subconjunto abierto U con estructura de haz . [14]
- orbifold
- Hoy en día, un orbifold se define a menudo como una pila de Deligne-Mumford sobre la categoría de variedades diferenciables. [17]
PAG
- p -grupo divisible
- Ver p -grupo divisible (aproximadamente un análogo de los puntos de torsión de una variedad abeliana).
- lápiz
- Un sistema lineal de dimensión uno.
- Grupo picard
- El grupo Picard de X es el grupo de las clases de isomorfismos de haces de líneas en X , siendo la multiplicación el producto tensorial .
- Incrustación Plücker
- La incrustación de Plücker es la incrustación cerrada de la variedad Grassmannian en un espacio proyectivo.
- plurigenus
- El n -ésimo plurigenus de una variedad proyectiva suave es . Véase también el número de Hodge .
- Mapa de residuos de Poincaré
- Ver residuo de Poincaré .
- punto
- Un esquema es un espacio anillado localmente , por lo que a fortiori un espacio topológico , pero los significados de punto de son triples:
- un punto del espacio topológico subyacente;
- a -punto valorado de es un morfismo de a , para cualquier esquema ;
- un punto geométrico , donde se define sobre (está equipado con un morfismo a) , dónde es un campo , es un morfismo de a dónde es un cierre algebraico de.
- .
- polarización
- una incrustación en un espacio proyectivo
- Proyecto
- Ver construcción del proyecto .
- fórmula de proyección
- La fórmula de proyección dice que, para un morfismo de esquemas, un -módulo y un local gratis-módulo de rango finito, hay un isomorfismo natural
- descriptivo
- 1. Una variedad proyectiva es una subvariedad cerrada de un espacio proyectivo.
- 2. Un esquema proyectivo sobre un sistema S es un S -Esquema que los factores a través de algo de espacio proyectivo como un subesquema cerrado.
- 3. Los morfismos proyectivos se definen de manera similar a los morfismos afines: f : Y → X se llama proyectivo si se factoriza como una inmersión cerrada seguida de la proyección de un espacio proyectivo a . [18] Nótese que esta definición es más restrictiva que la de EGA , II.5.5.2. Este último define ser proyectivo si está dado por el Proyecto global de un O X -Álgebra calificada cuasi-coherente tal que se genera de forma finita y genera el álgebra . Ambas definiciones coinciden cuando es afín o más generalmente si es cuasi-compacto, separado y admite una amplia gavilla, [19] por ejemplo, si es un subesquema abierto de un espacio proyectivo sobre un anillo .
- paquete proyectivo
- Si E es un haz localmente libre en un esquema X , el paquete proyectivo P ( E ) de E es el Proj global del álgebra simétrica del dual de E :
- proyectivamente normal
- Ver #normal .
- adecuado
- Un morfismo es apropiado si está separado, universalmente cerrado (es decir, de manera que los productos de fibra con él sean mapas cerrados) y de tipo finito. Los morfismos proyectivos son apropiados; pero lo contrario no es cierto en general. Véase también variedad completa . Una propiedad profunda de los morfismos propios es la existencia de una factorización de Stein , es decir, la existencia de un esquema intermedio tal que un morfismo puede expresarse como uno con fibras conectadas, seguido de un morfismo finito.
- propiedad P
- Sea P una propiedad de un esquema que es estable bajo cambio de base (tipo finito, propio, suave, étale, etc.). Entonces un morfismo representable se dice que tiene la propiedad P si, para cualquier con B un esquema, la base cambia tiene la propiedad P .
- dimensión pura
- Un esquema tiene dimensión d pura si cada componente irreducible tiene dimensión d .
Q
- casi coherente
- Una gavilla casi coherente en un esquema X de Noetheiran es una gavilla de módulos O X que se dan localmente por módulos.
- cuasi compacto
- Un morfismo f : Y → X se llama cuasi-compacto , si para alguna (equivalentemente: cada) cubierta afín abierta de X por alguna U i = Spec B i , las preimágenes f −1 ( U i ) son cuasi-compactas .
- cuasi-finito
- El morfismo f : Y → X tiene fibras finitas si la fibra sobre cada punto es un conjunto finito. Un morfismo es cuasi-finito si es de tipo finito y tiene fibras finitas.
- cuasi proyectivo
- Una variedad cuasi-proyectiva es una subvariedad localmente cerrada de un espacio proyectivo.
- casi separado
- Un morfismo f : Y → X se llama cuasi-separado o ( Y está cuasi-separado sobre X ) si el morfismo diagonal Y → Y × X Y es cuasi-compacto. Un esquema Y se denomina cuasi separado si Y está cuasi separado sobre Spec ( Z ). [20]
- Esquema de cotización
- Un esquema de cotización parametriza cocientes de roldanas libres localmente en un esquema proyectivo.
- pila de cociente
- Generalmente denotado por [ X / G ], una pila de cocientes generaliza un cociente de un esquema o variedad.
R
- racional
- 1. Sobre un campo algebraicamente cerrado, una variedad es racional si es biracional a un espacio proyectivo. Por ejemplo, las curvas racionales y las superficies racionales son aquellas biracionales para .
- 2. Dado un campo k y un esquema relativo X → S , un k -punto racional de X es un S -morfismo .
- función racional
- Un elemento en el campo de funcióndonde el límite corre sobre todas las coordenadas anillos de subconjuntos abiertos U de un (irreducible) variedad algebraica X . Véase también campo de función (teoría de esquemas) .
- curva normal racional
- Una curva normal racional es la imagen de
- .
- singularidades racionales
- Una variedad X sobre un campo de característica cero tiene singularidades racionales si hay una resolución de singularidades tal que y .
- reducido
- 1. Un anillo conmutativo se reduce si no tiene elementos nilpotentes distintos de cero, es decir, su nilradical es el ideal cero, . Equivalentemente, se reduce si es un esquema reducido.
- 2. Un esquema X se reduce si sus tallos son anillos reducidos. Equivalentemente, X se reduce si, para cada subconjunto abierto , es un anillo reducido, es decir, no tiene secciones nilpotentes distintas de cero.
- gavilla reflexiva
- Un haz coherente es reflexivo si el mapa canónico del segundo dual es un isomorfismo.
- regular
- Un esquema regular es un esquema en el que los anillos locales son anillos locales regulares . Por ejemplo, las variedades suaves sobre un campo son regulares, mientras que Spec k [ x, y ] / ( x 2 + x 3 - y 2 ) = no es.
- incrustación regular
- Una inmersión cerradaes una incrustación regular si cada punto de X tiene una vecindad afín en Y, de modo que el ideal de X se genera mediante una secuencia regular . Si i es una incrustación regular, entonces la gavilla conormal de i , es decir, Cuándo es la gavilla ideal de X , es localmente gratis.
- función regular
- Un morfismo de una variedad algebraica a la línea afín .
- morfismo representable
- Un morfismo de pilas tales que, para cualquier morfismo de un esquema B , el cambio de base es un espacio algebraico. Si "espacio algebraico" se reemplaza por "esquema", entonces se dice que es fuertemente representable.
- resolución de singularidades
- Una resolución de singularidades de un esquema X es un morfismo biracional adecuado tal que Z sea suave .
- Fórmula de Riemann-Hurwitz
- Dado un morfismo separable finito entre curvas proyectivas suaves, si está dócilmente ramificado (sin ramificación salvaje); por ejemplo, sobre un campo de característica cero, la fórmula de Riemann-Hurwitz relaciona el grado de π, los géneros de X , Y y los índices de ramificación :
- .
- Fórmula de Riemann-Roch
- 1. Si L es un haz de líneas de grado d en una curva proyectiva suave del género g , entonces la fórmula de Riemann-Roch calcula la característica de Euler de L :
- .
- Por ejemplo, la fórmula implica que el grado del divisor canónico K es 2 g - 2.
S
- esquema
- Un esquema es un espacio anillado localmente que es localmente un espectro principal de un anillo conmutativo .
- Schubert
- 1. Una celda de Schubert es una órbita B en el Grassmannian donde B es el Borel estándar; es decir, el grupo de matrices triangulares superiores.
- 2. Una variedad de Schubert es el cierre de una celda de Schubert.
- variedad secante
- La variedad secante a una variedad proyectiva es el cierre de la unión de todas las líneas secantes a V en .
- anillo de sección
- El anillo de sección o el anillo de secciones de un haz de líneas L en un esquema X es el anillo graduado .
- Condiciones de Serre S n
- Ver condiciones de normalidad de Serre . Véase también https://mathoverflow.net/q/22228
- Dualidad serre
- Ver #dualización de gavilla
- apartado
- Un morfismo separado es un morfismo. tal que el producto de fibra de consigo mismo a lo largo tiene su diagonal como un subesquema cerrado; en otras palabras, el morfismo diagonal es una inmersión cerrada .
- gavilla generada por secciones globales
- Una gavilla con un conjunto de secciones globales que abarcan el tallo de la gavilla en cada punto. Ver Gavilla generada por secciones globales .
- sencillo
- El término "punto simple" es un término antiguo para un "punto liso".
- liso
- 1.
El análogo de dimensiones superiores de los morfismos étale son los morfismos suaves . Hay muchas caracterizaciones diferentes de suavidad. Las siguientes son definiciones equivalentes de suavidad del morfismo f : Y → X :
- 1) para cualquier y ∈ Y , hay abierto barrios afines V y U de y , x = f ( y ), respectivamente, tal que la restricción de f a V factores como un morfismo étale seguido por la proyección de afín n -space más de U .
- 2) f es plano, localmente de presentación finita y para cada punto geométrico de Y (un morfismo del espectro de un campo algebraicamente cerrado a Y ), la fibra geométrica es una suave variedad n- dimensional sobre en el sentido de la geometría algebraica clásica.
[1]
T
- espacio tangente
- Ver espacio tangente de Zariski .
- paquete de línea tautológica
- El haz de líneas tautológicas de un esquema proyectivo X es el dual de la gavilla retorcida de Serre; es decir, .
- teorema
- Ver teorema principal de Zariski , teorema de funciones formales , teorema de cambio de base de cohomología , Categoría: Teoremas en geometría algebraica .
- incrustación de toro
- Un término antiguo para una variedad tórica
- variedad tórica
- Una variedad tórica es una variedad normal con la acción de un toro, de modo que el toro tiene una órbita densa abierta.
- geometría tropical
- Una especie de geometría algebraica lineal por partes. Ver geometría tropical .
- toro
- Un toro dividido es el producto de un número finito de grupos multiplicativos..
U
- universal
- 1. Si un funtor módulos F está representada por algún esquema o espacio algebraica M , a continuación, un objeto universal es un elemento de F ( M ) que corresponde a la morfismo identidad M → M (que es una M -punto de M ). Si los valores de F son clases de isomorfismo de curvas con estructura extra, digamos, entonces un objeto universal se llama curva universal . Un paquete tautológico sería otro ejemplo de objeto universal.
- 2. Deje ser los módulos de curvas proyectivas lisas de género g y el de curvas proyectivas suaves del género g con puntos únicos marcados. En literatura, el mapa olvidadizo
- universalmente
- Un morfismo tiene alguna propiedad universalmente si todos los cambios de base del morfismo tienen esta propiedad. Los ejemplos incluyen catenaria universal , inyectiva universal .
- desarraigado
- Por un punto en , considere el morfismo correspondiente de los anillos locales
- .
V
- variedad
- un sinónimo de "variedad algebraica".
- muy amplio
- Un haz de líneas L en una variedad X es muy amplio si X se puede incrustar en un espacio proyectivo de modo que L es la restricción de la gavilla torcida O (1) de Serre en el espacio proyectivo.
W
- débilmente normal
- un esquema es débilmente normal si cualquier morfismo biracional finito es un isomorfismo.
- Divisor de Weil
- Otro término más estándar para un "ciclo de codimensión uno"; ver divisor .
- Buena reciprocidad
- Ver reciprocidad de Weil .
Z
- Espacio Zariski – Riemann
- Un espacio de Zariski-Riemann es un espacio anillado localmente cuyos puntos son anillos de valoración.
Notas
- ^ Demostración: Sea D sea un divisor Weil en X . Si D ' ~ D , entonces hay una función racional f distinta de ceroen X tal que D + ( f ) = D' y entonces f es una sección de O X ( D ) si D ' es efectivo. La dirección opuesta es similar. □
- ^ Alain, Connes (18 de septiembre de 2015). "Un ensayo sobre la hipótesis de Riemann". arXiv : 1509.05576 .
- ^ Deitmar, Anton (16 de mayo de 2006). "Comentarios sobre funciones zeta y teoría K sobre F1". arXiv : matemáticas / 0605429 .
- ^ Flores, Jaret (8 de marzo de 2015). "Álgebra homológica para monoides conmutativos". arXiv : 1503.02309 .
- ^ Durov, Nikolai (16 de abril de 2007). "Nuevo enfoque de la geometría de Arakelov". arXiv : 0704.2030 .
- ^ Grothendieck y Dieudonné 1960 , 4.1.2 y 4.1.3
- ^ Smith, Karen E .; Zhang, Wenliang (3 de septiembre de 2014). "Frobenius Splitting en álgebra conmutativa". arXiv : 1409.1169 .
- ^ Grothendieck y Dieudonné 1964 , §1.4
- ^ Grothendieck y Dieudonné 1964 , §1.6
- ^ Brandeburgo, Martin (7 de octubre de 2014). "Tensor de fundamentos categóricos de la geometría algebraica". arXiv : 1410,1716 .
- ^ Hartshorne 1977 , ejercicio II.3.11 (d)
- ^ El proyecto de pilas , capítulo 21, §4.
- ↑ Grothendieck y Dieudonné 1960 , 4.2.1
- ↑ a b Hartshorne 1977 , §II.3
- ↑ Grothendieck y Dieudonné 1960 , 4.2.5
- ^ Q. Liu, Geometría algebraica y curvas aritméticas, ejercicio 2.3
- ^ Harada, Megumi; Krepski, Derek (2 de febrero de 2013). "Cocientes globales entre pilas tóricas de Deligne-Mumford". arXiv : 1302.0385 .
- ↑ Hartshorne 1977 , II.4
- ↑ EGA , II.5.5.4 (ii).
- ^ Grothendieck y Dieudonné 1964 , 1.2.1
- ^ La noción G-sin ramificar es lo que se llama "sin ramificar" en EGA, pero seguimos la definición de Raynaud de "sin ramificar", de modo que las inmersiones cerradas no se ramifican. Consulte la etiqueta 02G4 en el proyecto Stacks para obtener más detalles.
Referencias
- Fulton, William (1998), Teoría de la intersección , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Una serie de encuestas modernas en matemáticas [Resultados en matemáticas y áreas relacionadas. 3ra Serie. A Series of Modern Surveys in Mathematics], 2 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-1700-8 , ISBN 978-3-540-62046-4, MR 1644323
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi : 10.1007 / bf02684778 . Señor 0217083 .
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1961). "Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 8 . doi : 10.1007 / bf02699291 . Señor 0217084 .
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1961). "Elementos de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 11 . doi : 10.1007 / bf02684274 . Señor 0217085 .
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1963). "Éléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Seconde partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 17 . doi : 10.1007 / bf02684890 . Señor 0163911 .
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 20 . doi : 10.1007 / bf02684747 . Señor 0173675 .
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1965). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 24 . doi : 10.1007 / bf02684322 . Señor 0199181 .
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1966). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 28 . doi : 10.1007 / bf02684343 . Señor 0217086 .
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 32 . doi : 10.1007 / bf02732123 . Señor 0238860 .
- Hartshorne, Robin (1977), Geometría Algebraica , Textos de Posgrado en Matemáticas , 52 , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
- Kollár, János , "Book on Moduli of Surfaces" disponible en su sitio web [2]
- Notas del curso de Martin's Olsson escritas por Anton, https://web.archive.org/web/20121108104319/http://math.berkeley.edu/~anton/written/Stacks/Stacks.pdf
- Un libro elaborado por muchos autores.
Ver también
- Glosario de geometría aritmética y diofántica
- Glosario de geometría algebraica clásica
- Glosario de topología y geometría diferencial
- Glosario de geometría riemanniana y métrica
- Lista de superficies complejas y algebraicas
- Lista de superficies
- Lista de curvas