Estructura causal

En física matemática , la estructura causal de una variedad lorentziana describe las relaciones causales entre los puntos de la variedad.

En la física moderna (especialmente en la relatividad general ) , el espacio-tiempo está representado por una variedad lorentziana . Las relaciones causales entre puntos en la variedad se interpretan como una descripción de qué eventos en el espacio-tiempo pueden influir en qué otros eventos.

La estructura causal de una variedad lorentziana arbitraria (posiblemente curva) se complica más por la presencia de la curvatura . Las discusiones sobre la estructura causal de tales variedades deben formularse en términos de curvas suaves que unen pares de puntos. Las condiciones sobre los vectores tangentes de las curvas definen las relaciones causales.

Si es una variedad lorentziana (para métrica en variedad ), los vectores tangentes en cada punto de la variedad se pueden clasificar en tres tipos disjuntos . Un vector tangente es:${\ estilo de visualización \, (M, g)}$ ${\ estilo de visualización g}$ ${\ estilo de visualización M}$${\ estilo de visualización X}$

Aquí usamos la firma métrica . Decimos que un vector tangente no es espacial si es nulo o temporal.${\ estilo de visualización (-,+,+,+,\cdots)}$

La variedad canónica de Lorentzian es el espacio-tiempo de Minkowski , donde y es la métrica plana de Minkowski . Los nombres de los vectores tangentes provienen de la física de este modelo. Las relaciones causales entre puntos en el espacio-tiempo de Minkowski toman una forma particularmente simple porque el espacio tangente también lo es y, por lo tanto, los vectores tangentes pueden identificarse con puntos en el espacio. El vector tetradimensional se clasifica según el signo de , donde es una coordenada cartesiana en el espacio tridimensional, es la constante que representa el límite de velocidad universal, y${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{4}}$${\ estilo de visualización g}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4}}$${\ estilo de visualización X = (t, r)}$${\displaystyle g(X,X)=c^{2}t^{2}-\|r\|^{2}}$${\displaystyle r\in \mathbb {R} ^{3}}$${\ estilo de visualización c}$${\ estilo de visualización t}$es hora. La clasificación de cualquier vector en el espacio será la misma en todos los marcos de referencia que estén relacionados por una transformación de Lorentz (pero no por una transformación general de Poincaré porque entonces el origen puede estar desplazado) debido a la invariancia de la métrica.

Subdivisión del espacio-tiempo de Minkowski con respecto a un punto en cuatro conjuntos disjuntos. El cono de luz , el futuro causal , el pasado causal y otros lugares . La terminología se define en este artículo.